Lista_15_-_Revisão_1_Fase

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LISTA 15: REVISÃO ITA 1ª FASE (2020) 
 
 
 
Prof. Rodrigo 
 
1 
(Enunciado correto da questão 25, ITA 2010) 
Considere o polinômio 
6
0
( ) n
n
n
p x a x

 , com coeficientes reais 
sendo 
0 0a  e 6 1a  . Sabe-se que se r é raiz de p, – r 
também é raiz de p. Analise a veracidade ou falsidade das 
afirmações. 
I. Se r1 e r2, 1 2r r , são raízes reais e r3 é raiz não real de p, 
então r3 é imaginário puro. 
II. Se r é raiz dupla de p, então r é real ou imaginário puro. 
III. 
0 0a  . 
Revisão ITA – 1ª Fase: 
 
1. Seja 6 5 4 3 2P(x) x bx cx dx ex fx g       um 
polinômio de coeficientes inteiros e que 3P( 2 3) 0.  O 
polinômio R(x) é o resto da divisão de P(x) por 
3x 3x 1.  Determine a soma dos coeficientes de R(x) e 
assinale a opção correta. 
a) 51 
b) 52 
c) 53 
d) 54 
e) 55 
 
2. Resolver a equação 2 24cos 2x 8cos x 7  . 
 
3. O par ordenado (x, y) de números reais, x 0 e 
y 0, satisfaz ao sistema 
 
2 2
1 1 3
x y 4
1 1 5
16x y

 


  

 
 
em que x é o menor elemento do par. Se p 3x y,  
encontre o termo de ordem (p 1) do binômio 
15
2
2
5
x z
y
143
 
 
 
 
 e assinale a opção correta. 
a) 10 5 2021x z y 
b) 5 10 2021x z y 
c) 10 5 1021x z y 
d) 32 10 2021x z y 
e) 10 5 2021x z y 
 
 
 
 
 
4. O número complexo, z | z | (cos i sen ),θ θ    sendo i 
a unidade imaginária e 0 2 ,θ π  que satisfaz a inequação 
| z 3i | 2  e que possui o menor argumento ,θ é 
a) 
5 2 5
z i
3 3
   
b) 
5 2 5
z i
3 3
   
c) 
2 5 5
z i
3 3
   
d) 
2 5 5
z i
3 3
   
e) z 2 5 5i   
 
5. Sejam 1r , 2r e 3r as raízes do polinômio 
3 2P(x) x x 4x 4.    Sabendo-se que as funções 
2
1f (x) log(4x kx 1)   e 
2 2
2f (x) x 7 arc sen (wx 8),   com k,w , são tais 
que 1 1f (r ) 0 e 2 2 2 3f (r ) f (r ) 4,  onde 1r é a menor raiz 
positiva do polinômio P(x), é correto afirmar que os números 
(w k) e (w k) são raízes da equação: 
a) 2x 6x 2 0   
b) 2x 4x 12 0   
c) 2x 4x 21 0   
d) 2x 6x 8 0   
e) 2x 7x 10 0   
 
6. A solução do sistema: 
 
x y z w 7
xy xz xw yz yw zw 4
xyz xyw xzw yzw 6
xyzw 1
   

     

   
 
 
 
pode ser representada pelas raízes do polinômio: 
a) 3 2x 6x 4x 7   
b) 3 2x 6x 4x 7   
c) 4 3 22x 14x 8x 12x 2    
d) 4 3 27x 4x 6x x   
e) 4 3 2x 7x 4x 6x   
 
7. Se z é o conjugado do número complexo z, então o 
número de soluções da equação 2z z é 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
 
 
 
 
 
2 
8. Sabendo que z é o número complexo 
1 3
z i,
2 2
  qual 
o menor inteiro positivo n, para o qual o produto 
2 3 nz z z z  é um real positivo? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
9. Considere 2 5 2P(x) (m 4 m 4 x x( ) k) x 1      um 
polinômio na variável real x, em que m e k são constantes 
reais. Quais os valores das constantes m e k para que 
P(x) não admita raiz real? 
a) m 4 e 2 k 2   
b) m 4  e k 2 
c) m 2  e 2 k 2   
d) m 4 e | k | 2 
e) m 2  e k 2  
 
10. O coeficiente de 5x no desenvolvimento de 
7
32 x
x
 
 
 
 
é 
a) 30 
b) 90 
c) 120 
d) 270 
e) 560 
 
11. Seja m a menor raiz inteira da equação 
(x 1)(5x 7)
! 1.
3
  
 
 
 Pode-se afirmar que o termo médio 
do desenvolvimento de 3 12m( y z ) é 
a) 
3
18 2
12!
y z
6!6!
 
b) 3 18
12!
y z
6!6!

 
c) 
15
452
30!
y z
15!15!
 
d) 
15
452
30!
y z
15!15!

 
e) 3 18
12!
y z
6!6!
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. O polinômio 
           k2 3 4 k 1001P x x 1 x 1 x 1 x 1 ... x 1 ... x 1        
quando dividido por   22P x x x 1   resulta no quociente 
Q(x) e resto R(x). Analise as afirmações a seguir: 
(I) P1(x) é divisível por P2(x); 
(II) o grau de Q(x) é 98; 
(III) P1(x) tem uma raiz real com multiplicidade pelo menos 
50; 
(IV)P1(x) tem, pelo menos, uma raiz complexa com 
multiplicidade 25. 
É (são) verdadeira(s): 
a) apenas I 
b) todas, exceto III 
c) todas, exceto II 
d) I e III 
e) III e IV 
 
 
Gabarito: 
1. [E] 
2. k ,k
6

    
3. [E] 
4. [C] 
5. [B] 
6. [C] 
7. [E] 
8. [C] 
9. [A] 
10. [E] 
11. [E] 
12. [C]