105. Um hexágono convexo regular H e um triângulo equilátero T estão inscritos em circunferência de raios HR e TR , respectivamente. Sabendo-se q...

Se H é um hexágono convexo regular inscrito em uma circunferência de raio HR, então a medida do lado de H é igual a HR. Da mesma forma, se T é um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio TR, então a medida do lado de T é igual a TR. Como H é um hexágono regular, ele pode ser dividido em seis triângulos equiláteros congruentes. Cada um desses triângulos tem área igual a (lado do triângulo)^2 * sqrt(3) / 4, onde sqrt(3) / 4 é a altura do triângulo equilátero. Portanto, a área de H é igual a 6 * (HR)^2 * sqrt(3) / 4. Como T é um triângulo equilátero, sua área é igual a (lado do triângulo)^2 * sqrt(3) / 4. Como H e T têm a mesma área, temos: 6 * (HR)^2 * sqrt(3) / 4 = (TR)^2 * sqrt(3) / 4 Simplificando, temos: 6 * (HR)^2 = (TR)^2 Portanto, a razão HTR é igual a: HTR = HR / TR = sqrt(6) / 3