Na figura, BAC e DEC são triângulos retângulos em  e Ê, com AB = 15 cm, ED = 10 cm e AE = 30 cm. O ponto C pertence a AE e o ponto F pode mo...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras e a semelhança de triângulos. Primeiro, vamos encontrar a medida de AC. Como o triângulo BAC é retângulo em A, podemos usar o Teorema de Pitágoras: AC² = AB² - BC² AC² = 15² - BC² AC² = 225 - BC² AC = √(225 - BC²) Agora, vamos encontrar a medida de DC. Como o triângulo DEC é retângulo em E, podemos usar o Teorema de Pitágoras: DC² = DE² - EC² DC² = 10² - EC² DC² = 100 - EC² DC = √(100 - EC²) Observe que EC = AE - AC. Substituindo na fórmula acima, temos: DC = √(100 - (AE - AC)²) Agora, vamos encontrar a medida de DF. Como o triângulo DCF é isósceles de base DF, temos que DC = DF. Substituindo a fórmula de DC acima, temos: DF = √(100 - (AE - AC)²) Observe que a medida de BD é igual a AB - AD. Para encontrar AD, podemos usar a semelhança de triângulos ABD e ECD: AB/BD = EC/DC 15/BD = (AE - AC)/√(100 - (AE - AC)²) 15√(100 - (AE - AC)²) = BD(AE - AC) BD = 15√(100 - (AE - AC)²)/(AE - AC) Substituindo as fórmulas de AC e DC acima, temos: BD = 15√(100 - (30 - AC)²)/(30 - AC) Agora, podemos encontrar o valor mínimo de BC + CD. Observe que BC + CD = AC + AD. Substituindo as fórmulas de AC e AD acima, temos: BC + CD = √(225 - BC²) + 15√(100 - (30 - AC)²)/(30 - AC) Para encontrar o valor mínimo de BC + CD, podemos derivar essa expressão em relação a BC e igualar a zero: d/dBC (BC + CD) = -BC/√(225 - BC²) + 15(30 - AC)/(30 - AC)√(100 - (30 - AC)²)/(225 - BC²) = 0 Isolando AC nessa equação, temos: AC = 30 - 15√(100 - (30 - AC)²)/(225 - BC²) Substituindo a fórmula de AC acima na expressão de BC + CD, temos: BC + CD = √(225 - BC²) + 15√(100 - (30 - (30 - 15√(100 - (30 - AC)²)/(225 - BC²)))²)/(30 - 15√(100 - (30 - AC)²)/(225 - BC²)) Simplificando essa expressão, temos: BC + CD = √(225 - BC²) + 15√(100 - (15√(100 - (30 - AC)²)/(15 - BC/15))²)/(15 - BC/15) Agora, podemos encontrar o valor mínimo de BC + CD resolvendo a equação acima. A resposta correta é a alternativa (d) 5√41.