7. (Ufjf-pism 2 2016) Na figura abaixo, ABCD é um tetraedro regular de lado e N é um ponto sobre a aresta AC tal que 2AN NC.= a) Calcule DN. ...

a) Para calcular DN, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras no triângulo ADN. Temos que: DN² = AD² - AN² Como ABCD é um tetraedro regular de lado "a", temos que AD = a√2. Além disso, como AN + NC = AC, temos que AN = NC = a/3. Substituindo esses valores na fórmula acima, temos: DN² = (a√2)² - (a/3)² DN² = 2a² - a²/9 DN² = 18a²/9 - a²/9 DN² = 17a²/9 DN = a√17/3 Portanto, DN = a√17/3. b) Para calcular a área do triângulo BDN, podemos utilizar a fórmula da área de um triângulo qualquer: Área = (base x altura)/2 A base do triângulo BDN é BD, que é igual a a. Já a altura é a altura relativa ao lado BD. Essa altura é perpendicular ao plano que contém o triângulo BDN e passa pelo ponto C. Como ABCD é um tetraedro regular, essa altura é igual a h = a√6/3. Substituindo esses valores na fórmula acima, temos: Área = (a x a√6/3)/2 Área = a²√6/6 Portanto, a área do triângulo BDN é a²√6/6.