9. (Unifesp) Na figura, ABCDEFGH é um paralelepípedo reto-retângulo, e PQRE é um tetraedro regular de lado 6cm, conforme indica a figura. Sabe-se ...

a) Para calcular a medida do arco RF, precisamos encontrar o ângulo central correspondente a esse arco. Como o tetraedro PQRE é regular, o ângulo entre as faces PQR e PER é de 60 graus. Como T é o baricentro do triângulo ERQ, a distância de T a cada um dos vértices E, R e Q é igual a 2/3 da mediana correspondente. Portanto, a distância de T a R é 4 cm. Como a diagonal EG divide o paralelepípedo em dois tetraedros congruentes, temos que a distância entre as faces EFGH e ABCD é igual a 6 cm. Assim, o ângulo central correspondente ao arco RF é dado por: arco RF = (ângulo central correspondente a RF) * (raio da circunferência) ângulo central correspondente a RF = 360 graus - 2 * ângulo PER ângulo PER = arccos(4/6) = 48,19 graus ângulo central correspondente a RF = 360 graus - 2 * 48,19 graus = 263,62 graus raio da circunferência = 6 cm arco RF = 263,62 graus * (2 * pi / 360 graus) * 6 cm = 28,97 cm Portanto, a medida do arco RF é de aproximadamente 28,97 cm. b) O volume do paralelepípedo ABCDEFGH é dado pelo produto das medidas de suas três dimensões. Como as arestas do tetraedro PQRE têm medida 6 cm, temos que a diagonal EG do paralelepípedo tem medida 6 cm * sqrt(3) = 10,39 cm. Portanto, as dimensões do paralelepípedo são: AB = CD = 10,39 cm BC = EF = 6 cm AD = GH = 6 cm * sqrt(2) = 8,49 cm Assim, o volume do paralelepípedo ABCDEFGH é dado por: V = AB * BC * AD = 10,39 cm * 6 cm * 8,49 cm = 527,31 cm³ Portanto, o volume do paralelepípedo ABCDEFGH é de aproximadamente 527,31 cm³.