5. (Fuvest 2008) A figura representa o número ω = −1+i√3 2 no plano complexo, sendo i = √−1 a unidade imaginária. Nessas condições, a) determin...

a) Para determinar as partes real e imaginária de 1/ω, basta calcular o conjugado de ω e dividir 1 pelo resultado. Temos: ω = -1 + i√3 / 2 Conjugado de ω = -1 - i√3 / 2 1/ω = (1/2) * (-1 - i√3) A parte real de 1/ω é -1/2 e a parte imaginária é -√3/2. Para calcular ω³, basta elevar ω ao cubo: ω³ = (-1 + i√3 / 2)³ ω³ = (-1 + i√3) * (-1 + i√3) * (-1 + i√3) / 8 ω³ = (-1 - i√3 + i√3 - 3) / 8 ω³ = (-4 - i√3) / 8 ω³ = -1/2 - i√3/2 A parte real de ω³ é -1/2 e a parte imaginária é -√3/2. b) Para representar 1/ω e ω³ na figura, basta traçar uma reta que passa pelo ponto ω e pelo ponto 1. A interseção dessa reta com o círculo de raio 1 centrado na origem é o ponto 1/ω. Para representar ω³, basta elevar ω ao cubo e traçar uma reta que passa pelo ponto ω e pelo ponto ω³. A interseção dessa reta com o círculo de raio 1 centrado na origem é o ponto ω³. c) A equação z³ - 1 = 0 pode ser fatorada como (z - 1)(z² + z + 1) = 0. As raízes são z = 1 e as raízes da equação z² + z + 1 = 0. Para encontrar as raízes dessa equação, podemos usar a fórmula de Bhaskara: z = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a Substituindo a = 1, b = 1 e c = 1, temos: z = (-1 ± √(-3)) / 2 Como a raiz quadrada de um número negativo não é um número real, as raízes da equação z² + z + 1 = 0 são números complexos. Podemos escrever as raízes na forma a + bi, onde a e b são números reais. Substituindo na fórmula de Bhaskara, temos: z = (-1 ± i√3) / 2 As raízes da equação z³ - 1 = 0 são 1, (-1 + i√3) / 2 e (-1 - i√3) / 2.