13. (Unesp 96) Sabe-se que a unidade imaginária i é raiz do polinômio real p(x)=x¥-3x¤+3x£+ax+2. Nessas condições: a) Determine o valor de a. b) en...

a) Sabendo que a unidade imaginária i é raiz do polinômio p(x), podemos afirmar que a outra raiz é o seu conjugado, -i. Assim, podemos utilizar o Teorema de Briot-Ruffini para encontrar o valor de a: x³ - 3x² + 3x + ax + 2 | 1 -3 3 a 2 ------------------------ i | 1 -3 3 a 2 | i -4i 3-ai |------------------ | 1 -3+i -i 3-ai+2 | -i 3+i ai-3 |------------------ | 1 -3+i 2+2i ai-1 Como o polinômio é real, as partes imaginárias dos coeficientes devem se anular. Assim, temos: -3 + i = 0 ai - 1 = 0 Logo, a = 1/i = -i e a resposta para a letra a) é a = -i. b) Para encontrar o conjunto solução da equação p(x) = 0, podemos utilizar a fórmula de Cardano-Tartaglia para resolver equações cúbicas. No entanto, como já sabemos que i é uma raiz, podemos utilizar a divisão polinomial para encontrar o quociente e resolver a equação de segundo grau resultante. x³ - 3x² + 3x - ix² + 2ix + 2 = (x - i)(x² - 2x + 2i) Resolvendo a equação de segundo grau, temos: x² - 2x + 2i = 0 x = [2 ± sqrt((-2)² - 4(1)(2i))] / 2 x = 1 ± sqrt(1 - 2i) Assim, o conjunto solução da equação p(x) = 0 é {i, 1 + sqrt(1 - 2i), 1 - sqrt(1 - 2i)}.