(Uepg 2019) Sabendo que a divisão do polinômio ????(????) por ????(????) = 2????2 + 6???? + 7 resulta no quociente ????(????) = ????3 − ????2 − 2???? e resto nulo, assi...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema do Resto, que afirma que se um polinômio P(x) é dividido por um polinômio do tipo (x-a), o resto da divisão é P(a). No caso da questão, temos que o polinômio P(x) é igual a ????3 − ????2 − 2???? e o divisor é 2????2 + 6???? + 7. Sabemos que o resto é nulo, então podemos igualar a divisão a zero: ????3 − ????2 − 2???? = (2????2 + 6???? + 7)(???? - a) + 0 Substituindo o quociente encontrado, temos: (2????2 + 6???? + 7)(???? - a) = ????3 − ????2 − 2???? Expandindo a expressão, temos: 2????3 - 2a????2 + 6????2 - 6a???? + 7???? - 7a = ????3 − ????2 − 2???? Igualando os coeficientes de mesmo grau, temos: 2a = 0 (coeficiente de x³) -2a + 6 = 0 (coeficiente de x²) 7 - 7a = -2 (coeficiente de x) Resolvendo o sistema, encontramos a = 0,5. Portanto, o divisor é igual a (x - 0,5). Agora, podemos verificar as alternativas: 01) ????(????) é divisível por ???? − 1. Não podemos afirmar isso, pois o divisor é (x - 0,5). 02) ????(????) é divisível por ???? + 2. Podemos verificar se o polinômio é divisível por (x + 2) utilizando o Teorema do Resto novamente. Substituindo x = -2, temos: ????3 − ????2 − 2???? = (2(-2)² + 6(-2) + 7)(-2 - 0,5) + 0 ????3 − ????2 − 2???? = 0 Portanto, o polinômio é divisível por (x + 2). 04) ????(????) é um polinômio do quinto grau. Não podemos afirmar isso, pois o polinômio é do terceiro grau. 08) ????(0) = 0. Podemos verificar o valor de P(0) substituindo x = 0 na expressão do quociente: ????3 − ????2 − 2???? = (2(0)² + 6(0) + 7)(0 - 0,5) + 0 ????3 − ????2 − 2???? = 0,5 Portanto, a alternativa correta é a letra c) 02) e 08) estão corretas.