(Uepg 2018) Considerando que ????1(????) representa o quociente e ????1 o resto da divisão do polinômio ????(????) = ????5 − 4 por ???? − 2 e que ????2(????) e ????2 ...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema do Resto, que afirma que o resto da divisão de um polinômio P(x) por um polinômio do tipo (x-a) é igual a P(a). Assim, temos que: - O polinômio P(x) = x^5 - 4 e o divisor é (x-2). - O quociente da divisão é Q1(x) = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16. - O resto da divisão é R1 = 28. Agora, vamos dividir Q1(x) por (x+2): - O quociente da divisão é Q2(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 8. - O resto da divisão é R2 = 32. Com essas informações, podemos verificar as alternativas: 01) O polinômio ????2(????) tem três raízes reais. - Não podemos afirmar nada sobre as raízes do polinômio ????2(????), pois não temos informações suficientes. 02) Os coeficientes do polinômio ????1(????) formam uma progressão geométrica, cuja soma de seus termos vale 31. - Podemos verificar que os coeficientes de Q1(x) são 1, 2, 4, 8 e 16, que formam uma progressão geométrica de razão 2. A soma dos termos dessa progressão é 31, portanto, essa alternativa está correta. 04) O grau do polinômio ????(????) ⋅ ????1(????) ⋅ ????2(????) é um número múltiplo de seis. - O grau do polinômio P(x) é 5, o grau de Q1(x) é 4 e o grau de Q2(x) é 3. Portanto, o grau do polinômio ????(????) ⋅ ????1(????) ⋅ ????2(????) é 5+4+3=12, que é um múltiplo de 6. Logo, essa alternativa está correta. 08) A diferença entre ????1 e ????2 é um número múltiplo de quatro. - A diferença entre ????1 e ????2 é igual a (Q1(x) - Q2(x)), que é igual a (x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16) - (x^3 - 2x^2 + 4x - 8) = x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 4x + 24. Não podemos afirmar que essa diferença é um múltiplo de quatro, portanto, essa alternativa está incorreta. Assim, as alternativas corretas são 02 e 04. A resposta correta é letra B.