10 09 - (Lista de Exercícios - Polinômios III - Divisão de Polinômios e Teorema do Resto)

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Prof. Johnny 
Matemática 
 
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Lista de Exercícios – Divisão de polinômios e teorema do resto 
 
1. (Uepg 2019) Sabendo que a divisão do polinômio 
𝑃(𝑥) por 𝐷(𝑥) = 2𝑥2 + 6𝑥 + 7 resulta no quociente 
𝑄(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥 e resto nulo, assinale o que for 
correto. 
01) 𝑃(𝑥) é divisível por 𝑥 − 1. 
02) 𝑃(𝑥) é divisível por 𝑥 + 2. 
04) 𝑃(𝑥) é um polinômio do quinto grau. 
08) 𝑃(0) = 0. 
 
2. (Upf 2019) O resto da divisão do polinômio 
𝑝(𝑥) = 𝑥𝑛 + 𝑥 + 2 pelo polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥 − 1 é 
a) 2 
b) 0 
c) 4 
d) −1 
e) −2 
 
3. (Ufpr 2019) O processo de encontrar um polinômio 
cujo gráfico passa por um determinado conjunto de 
pontos é chamado interpolação polinomial, e o 
polinômio obtido nesse processo é conhecido como 
polinômio interpolador. 
 
a) Verifique se 𝑝(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 é polinômio 
interpolador para os pontos 𝑃1(−2, −3), 𝑃2(0, −3) 
e 𝑃3(1,  0). 
b) Encontre 𝑎,  𝑏,  𝑐,  𝑑 ∈ ℝ tais que 𝑞(𝑥) = 𝑎𝑥3 +
𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 seja polinômio interpolador para os 
pontos 𝑄1(−2,  8), 𝑄2(−1,  1), 𝑄3(1, −4) 
𝑄4(2, −8). 
 
4. (Udesc 2019) Seja 𝑝(𝑥) um polinômio de grau três 
tal que 𝑝(0) = 6,  𝑝(1) = 1,  𝑝(2) = 4 e 𝑝(3) = 9. É 
correto afirmar que 𝑝(4) é igual a: 
a) 0 
b) 16 
c) 10 
d) 14 
e) 8 
 
5. (Espm 2019) O polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑎 ⋅ 𝑥𝑏 + 𝑏 ⋅ 𝑥𝑐 +
𝑐 ⋅ 𝑥𝑎 é tal que os números 𝑎,  𝑏 e 𝑐 são naturais 
consecutivos nessa ordem. Sabendo-se que o resto 
da divisão de 𝑃(𝑥) por (𝑥 − 1) é igual a 9, podemos 
afirmar que o resto da divisão de 𝑃(𝑥) por (𝑥 + 1) é 
igual a: 
a) 3 
b) 1 
c) 2 
d) 5 
e) 4 
 
6. (Fgv 2018) O polinômio 𝑃(𝑥) = 6𝑥2 − 5𝑥 + 𝑘2, em 
que 𝑘 é uma constante complexa, tem 3𝑥 − 4 como 
um de seus fatores. Assim, necessariamente, 𝑘 será 
um número 
a) imaginário puro. 
b) racional não inteiro. 
c) irracional. 
d) inteiro. 
e) positivo. 
 
7. (Ueg 2018) Os restos da divisão do polinômio 
𝑝(𝑥) = 2𝑥4 −
1
√2
𝑥3 + 2𝑥2 −
1
√2
𝑥 + 1 pelos polinômios 
𝑞(𝑥) = 𝑥 − √2 e ℎ(𝑥) = 𝑥 − √8 são 𝑟 e 𝑠, 
respectivamente. Dessa forma, 𝑟 + 𝑠 é 
a) 0 
b) 10 
c) 127 
d) 137 
e) 161 
 
8. (Ufjf-pism 3 2018) O resto da divisão do polinômio 
𝑝(𝑥) = 𝑥10 − 1 pelo polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥 − 20,2 é: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4. 
 
9. (Upf 2018) Considere o polinômio 
𝑃(𝑥) = 4𝑥3 − 𝑥2 − (5 +𝑚)𝑥 + 3. 
Sabendo que o resto da divisão de 𝑃 pelo monômio 
𝑥 + 2 é 7, determine o valor de 𝑚. 
a) 0 
b) 15 
c) 2 
d) 7 
e) 21 
 
10. (Uepg 2018) Considerando que 𝑄1(𝑥) representa 
o quociente e 𝑅1 o resto da divisão do polinômio 
𝑃(𝑥) = 𝑥5 − 4 por 𝑥 − 2 e que 𝑄2(𝑥) e 𝑅2 representam 
o quociente e o resto da divisão de 𝑄1(𝑥) por 𝑥 + 2, 
respectivamente, assinale o que for correto. 
01) O polinômio 𝑄2(𝑥) tem três raízes reais. 
02) Os coeficientes do polinômio 𝑄1(𝑥) formam uma 
progressão geométrica, cuja soma de seus termos 
vale 31. 
04) O grau do polinômio 𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄1(𝑥) ⋅ 𝑄2(𝑥) é um 
número múltiplo de seis. 
08) A diferença entre 𝑅1 e 𝑅2 é um número múltiplo de 
quatro. 
 
 
 
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11. (Unicamp 2017) Considere o polinômio 
𝑝(𝑥) = 𝑥𝑛 + 𝑥𝑚 + 1, em que 𝑛 > 𝑚 ≥ 1. Se o resto da 
divisão de 𝑝(𝑥) por 𝑥 + 1 é igual a 3, então 
a) 𝑛 é par e 𝑚 é par. 
b) 𝑛 é ímpar e 𝑚 é ímpar. 
c) 𝑛 é par e 𝑚 é ímpar. 
d) 𝑛 é ímpar e 𝑚 é par. 
 
12. (Uece 2017) O resto da divisão do polinômio 
𝐷(𝑥) = 𝑥5 − 5𝑥3 + 4𝑥 pelo polinômio 
𝑑(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 4𝑥 + 1 é o polinômio do segundo 
grau 𝑟(𝑥). A solução real, não nula, da equação 
𝑟(𝑥) = 0 pertence ao intervalo 
a) [0,  1]. 
b) [2,  3]. 
c) [3,  4]. 
d) [−1,  0]. 
 
13. (Uem 2017) Acerca do polinômio 
2𝑥3 − 3𝑥2 − 3𝑥 + 2, assinale o que for correto. 
01) Uma das raízes desse polinômio é 
1
2
. 
02) Ele é divisível pelo polinômio 𝑥2−𝑥 − 2. 
04) A soma de suas raízes é 3. 
08) Todas as raízes desse polinômio são reais. 
16) Ele não pode ser fatorado como produto de três 
polinômios de grau 1 com coeficientes racionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1: 04 + 08 = 12. 2: [C] 
3: a) 𝑝(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 
 b) A resposta é, 𝑎 = −
1
2
,  𝑏 =
1
2
,  𝑐 = −2 e 𝑑 = −2. 
 
4: [C] 5: [D] 
6: [A] 7: [D] 
8: [D] 9: [B] 
10: 02 + 04 + 08 = 14. 11: [A] 
12: [D] 13: 01 + 02 + 08 = 11.