(Uerj) As seis soluções da equação z6 + z3 + 1 = 0 são números complexos que possuem módulos iguais e argumentos distintos. O argumento ????, em rad...

A equação z6 + z3 + 1 = 0 pode ser reescrita como (z3)² + z3 + 1 = 0. Fazendo a substituição y = z³, temos a equação y² + y + 1 = 0, que é uma equação quadrática em y. As soluções dessa equação são: y = (-1 ± √3i)/2 Substituindo de volta para z, temos: z = (-1 ± √3i)^(1/3) As seis soluções são obtidas elevando (-1 + √3i)^(1/3) e (-1 - √3i)^(1/3) a potências de 1, 2 e 3. Para encontrar o argumento de uma dessas soluções que pertence ao intervalo (π/3, 2π/3), podemos observar que as soluções estão dispostas simetricamente em torno do eixo real no plano complexo. Portanto, a solução que procuramos é a que forma um ângulo de π/6 com o eixo real. Podemos encontrar essa solução elevando (-1 + √3i)^(1/3) a potências de 1, 2 e 3: (-1 + √3i)^(1/3) ≈ 0,5 + 0,866i (-1 + √3i)^(2/3) ≈ -1 - 0i (-1 + √3i)^(3/3) ≈ 0,5 - 0,866i A solução que forma um ângulo de π/6 com o eixo real é a primeira, que tem argumento π/3. Portanto, a medida do argumento procurado é π/3 radianos.