Questão 3. Em um triângulo retângulo ABC, reto em Â, tem-se que 25ˆˆtg B tg C . 12   O valor de ˆˆsen B sen C é: A ( ) 25 12 B ( ) 12 ...

Para resolver essa questão, vamos utilizar as seguintes identidades trigonométricas: - No triângulo retângulo ABC, temos que tg B = sen B / cos B e tg C = sen C / cos C. - Pelo Teorema de Pitágoras, temos que sen² B + cos² B = 1 e sen² C + cos² C = 1. - A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, logo, temos que  + B + C = 180°. Substituindo as identidades trigonométricas na equação dada, temos: 25ˆˆ(sen B / cos B) * (sen C / cos C) + 12 = 0 Multiplicando ambos os lados por cos B * cos C, temos: 25ˆˆsen B * sen C + 12 * cos B * cos C = 0 Dividindo ambos os lados por sen B * sen C, temos: 25ˆˆ + 12 * (cos B * cos C) / (sen B * sen C) = 0 Utilizando a identidade trigonométrica sen² B + cos² B = 1, temos que cos B = √(1 - sen² B) e cos C = √(1 - sen² C). Substituindo essas expressões na equação acima, temos: 25ˆˆ + 12 * (√(1 - sen² B) * √(1 - sen² C)) / (sen B * sen C) = 0 Multiplicando ambos os lados por sen B * sen C, temos: 25ˆˆsen B * sen C + 12 * √(sen² B + sen² C - sen² B * sen² C) = 0 Utilizando a identidade trigonométrica sen² B + cos² B = 1 novamente, temos que sen² C = 1 - cos² C = 1 - (1 - sen² C) = sen² C. Substituindo essa expressão na equação acima, temos: 25ˆˆsen B * sen C + 12 * √(sen² B + sen² C - sen² B * (1 - sen² C)) = 0 Simplificando a expressão dentro da raiz, temos: 25ˆˆsen B * sen C + 12 * √(2 * sen² B * sen² C) = 0 25ˆˆsen B * sen C + 24 * sen B * sen C = 0 49ˆˆsen B * sen C = 0 Logo, sen B * sen C = 0. Portanto, uma das duas medidas deve ser igual a zero. Como senos são sempre positivos, temos que sen B = 0 ou sen C = 0. Se sen B = 0, temos que B = 0° ou B = 180°. Como B é um ângulo agudo (está no triângulo retângulo), temos que B = 0°. Se sen C = 0, temos que C = 0° ou C = 180°. Como C é um ângulo agudo (está no triângulo retângulo), temos que C = 0°. Portanto, temos que B = 0° e C = 90°. Logo, a alternativa correta é a letra A) 25/12.