04_-_Prova_-_Matemática_-_Ciclo_6

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA 
 
 
VESTIBULAR 2018 
Poliedro – Ciclo 6 
 
 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 
 
INSTRUÇÕES 
 
1. Esta prova tem duração de quatro horas. 
2. Não é permitido deixar o local de exame antes de decorridas duas horas do início da prova. 
3. Você poderá usar apenas lápis (ou lapiseira), caneta, borracha e régua. É proibido portar qualquer outro material 
escolar. 
4. Esta prova é composta de 20 questões de múltipla escolha (numeradas de 01 a 20) e de 10 questões dissertativas 
(numeradas de 21 a 30). 
5. As 20 questões de múltipla escolha correspondem a 50% do valor da prova e as questões dissertativas aos 50% 
restantes. 
6. Você recebeu este caderno de questões, dois cadernos de soluções, uma folha de leitura óptica e uma folha de 
rascunho. Verifique se o kit está completo. 
7. Numere sequencialmente de 21 a 30, a partir do verso da capa, cada página do caderno de soluções. O número 
atribuído a cada página corresponde ao da questão a ser resolvida. 
8. Cada questão de múltipla escolha admite uma única resposta. 
9. As resoluções das questões dissertativas, numeradas de 21 a 30, podem ser feitas a lápis e devem ser apresentadas de 
forma clara, concisa e completa. Respeite a ordem e o espaço disponível no caderno de soluções. Sempre que 
possível, use desenhos e gráficos. 
10. Você recebeu uma folha de leitura óptica, destinada à transcrição das respostas das questões numeradas de 1 
a 20. Usando caneta preta, assinale a opção correspondente à resposta de cada uma das questões de múltipla escolha. 
Você deve preencher todo o campo disponível para a resposta, sem extrapolar-lhe os limites, conforme instruções na 
folha de leitura óptica. 
11. Cuidado para não errar no preenchimento da folha de leitura óptica. Se isso ocorrer, troque por outra folha. 
12. Não haverá tempo suplementar para o preenchimento da folha de leitura óptica. 
13. A partir do dia 03/11/2017, os gabaritos e resoluções estarão disponibilizados no site do Poliedro 
(www.poliedroeducacao.com.br.) 
14. Aguarde o sinal para iniciar a prova. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAÇÕES 
 
 : conjunto dos números naturais : conjunto dos números complexos 
 : conjunto dos números inteiros i : unidade imaginária; 
2i 1  
 : conjunto dos números reais |z| : módulo do número z  
CA : conjunto (evento) complementar do conjunto 
(evento) A 
cisθ : cosθ + i.senθ 
k
n
n
n 0
a x

 : 2 k0 1 2 ka a x a x a x , k     
k
n
n 0
a

 : 0 1 2 ka a a a , k     
AB : segmento de reta unindo os pontos A e B 
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares. 
 
Questão 1. A lei de formação da função inversa de  
x x
x x
10 10
f x
10 10





 é dada por: 
 
A ( )  1
1 1 x
f x log
2 1 x
    
 
 B ( )  1
1 1 x
f x log
2 1 x
    
 
 
 
C ( )  1
1 2 x
f x log
2 2 x
    
 
 D ( )  1
1 2 x
f x log
2 2 x
    
 
 
 
E ( )  1
1 2 x
f x log
2 1 x
    
 
 
 
Questão 2. Determine a soma dos valores máximo e mínimo da expressão 
1
z
z
 , sabendo que 𝑧 é um número complexo 
satisfazendo z 2 . 
 
A ( ) 0 B ( ) 1 C ( ) 2 
D ( ) 3 E ( ) 4 
 
 
Questão 3. Em um triângulo retângulo ABC, reto em Â, tem-se que 
25ˆˆtg B tg C .
12
  O valor de ˆˆsen B sen C é: 
 
A ( ) 
25
12
 B ( ) 
12
25
 C ( ) 
7
5
 
 
D ( ) 
5
7
 E ( ) 
7
25
 
 
Questão 4. Sobre o sistema de equações    
ax 2z 4
1 a x y 1 a z 2
x y z 1
 

    

   
, podemos afirmar que: 
 
A ( ) é incompatível para dois valores irracionais de a. 
B ( ) possui infinitas soluções para um único valor real de a. 
C ( ) é possível para todo a positivo. 
D ( ) apresenta uma única solução  a 2 2, 2 2    . 
E ( ) teremos solução única para todo a positivo e não inteiro. 
 
 
 
Questão 5. Seja  T a, b, c tal que existe um triângulo ABC cujas medidas dos lados sejam BC a , CA b e AB c 
satisfazendo c b a 0 e a b c     . Definimos 2 2 2 2T (a ,b ,c ) e T ( a, b, c) como sendo, respectivamente, o 
quadrado e a raiz quadrada do "triângulo" T. Considere então as afirmativas: 
 
I. O quadrado de um triângulo equilátero é equilátero. 
II. O quadrado de um triângulo retângulo não é um triângulo. 
III. 
2T é um triângulo se, e somente se, T é acutângulo. 
IV. T sempre é um triângulo para todo T. 
V. Todos os ângulos de T são agudos. 
 
O número de afirmativas verdadeiras é: 
A ( ) 1 B ( ) 2 C ( ) 3 
D ( ) 4 E ( ) 5 
 
Questão 6. Considere as afirmações: 
I. a função real de variável real   2f x ln sen x 1 sen x   
  
 é uma função ímpar; 
II. a função  
 
x x
g x cos sen
n! n 1 !
   
         
, é periódica de período  n 1 ! ; 
III. a função h :  definida por  
x a
h x
x b



, onde a b é bijetora; 
IV. a função  
x
x
4
i x
4 2


 então o valor 
1 2 3 96
i i i i 48
97 97 97 97
       
           
       
; 
 
Pode-se afirmar que: 
A ( ) há apenas uma afirmativa verdadeira. B ( ) há apenas duas afirmativas verdadeiras. 
C ( ) há apenas três afirmativas verdadeiras. D ( ) há quatro afirmativas verdadeiras. 
E ( ) não há alternativa verdadeira. 
 
Questão 7. Considere o polinômio  
23
n
0 n
n 1
p x a a x

   , tal que 
n
n
1 i
a
2
 
  
 
, para n  , 0 n 23  e 2i 1  . 
Das afirmações sobre  p x : 
 
I. k k 8a a  , para todo 0 k 15,  k natural; 
II. 1 não é raiz de  p x ; 
III.  p i 0 . 
 
é (são) verdadeira(s) 
A ( ) todas. B ( ) apenas I. C ( ) apenas I e II. 
D ( ) apenas I e III. E ( ) apenas III. 
 
Questão 8. Separam-se os números inteiros de 1 a 10 em dois conjuntos de 5 elementos, de modo que 2 e 3 não estejam no 
mesmo conjunto. O número de possibilidades de fazer tal separação é: 
 
A ( ) 20 B ( ) 35 C ( ) 70 
D ( ) 140 E ( ) 200 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 9. Seja   a circunferência de centro C e equação  
2 2x 8 y 16   . A reta (r) passa pela origem e intercepta 
  nos pontos A e B, localizados no primeiro quadrante. Sabendo-se que a área do triângulo ABC é igual a 4 3 , então 
as duas possibilidades para (r) são: 
 
A ( ) 3x 13y 0 e x 15y 0    B ( ) 3x 13y 0 e 3x 13y 0    
C ( ) 3x 13y 0 e x 15y 0    D ( ) 3x 3y 0 e 3x 3y 0    
E ( ) x y 0 e 3x 3y 0    
 
Questão 10. Um cilindro circular reto de base contida em um plano  foi seccionado por um plano , formando 30° com 
, gerando um tronco de cilindro. Sabe-se que BD e CE são, respectivamente, eixo maior da elipse de centro P contida 
em , e diâmetro da circunferência de centro Q contida em . Os pontos A, B, P e D são colineares e estão em  e os 
pontos A, C, Q e E são colineares e estão em . 
 
Sendo BC 1 m e CQ 3m, o menor caminho pela 
superfície lateral do tronco ligando os pontos C e D mede, em 
metros: 
 
A ( ) 
23 1 3  B ( ) 3 3 
 
C ( ) 
23 1  D ( ) 
29 3  
 
E ( ) 
29   
D
B
C
E
P
A
30º
 
 
Q
 
 
Questão 11. Considere uma esfera de raio 
4
R m
3
 e nela se inscreve um cone equilátero. Cortam-se os dois sólidos por 
um plano paralelo à base do cone a uma distância x dessa base. Qual o valor de x, em metros, para que a diferença das áreas 
seções da esfera e do cone seja máxima? 
 
A ( ) 1 B ( ) 
1
2
 C ( ) 
1
3
 
 
D ( ) 2 E ( ) 
3
4
 
 
Questão 12. Determine o total de soluções da equação z z 2z i 0    
 
A ( ) 0 B ( ) 1 C ( ) 2 
D ( ) 3 E ( ) 4 
 
Questão 13. Dada a equação matricial 
2 5 3 x 1
4 10 2 y 5
6 15 1 z k
     
     
 
     
          
 é correto afirmar que: 
 
A ( ) tal equação tem solução para um único valorde k e para este valor o sistema é determinado. 
B ( ) tal equação tem solução para um único valor de k e para este valor de k e para este valor 
k
z
16
 . 
C ( ) tal equação não tem solução, qualquer que seja k. 
D ( ) tal equação tem solução para vários valores distintos de k e para um destes é possível e indeterminado. 
E ( ) tal equação tem equação tem solução para um único valor de k o para este valor a solução é 
17 40
16
3
8
  
 
 
 
 
 
 
. 
 
Questão 14. Calculando a soma  
6
k 1
arct g cot gk

 , obtém-se: 
 
A ( ) 6 21  B ( ) 3 21  C ( ) 4 21  
D ( ) 6 15  E ( ) 2 10  
 
 
Questão 15. Na figura, encontramos um quadrante de centro em O. Sabemos que AB 2 e BC 1 , podemos então afirmar 
que a medida de MN é: 
 
A
M
B
C
NO
 
A ( ) 
3 5
5
 B ( ) 
6 5
5
 
 
C ( ) 
6 10
5
 D ( ) 
3 10
5
 
 
E ( ) 
2 5
5
 
 
Questão 16. Sejam A, B e C conjuntos. Observe as seguintes afirmações: 
 
I. A C e B C A B C     
II. A A B B A    
III.    A B C A B C C A       
IV.  
C
C CA B e C B A C B     
 
É(São) verdadeira(s) apenas: 
A ( ) I, II, III e IV. B ( ) II e III. C ( ) I e IV. 
D ( ) II, III e IV. E ( ) II. 
 
Questão 17. Seja o número complexo z cis
6

 , n um número natural e 2i 1  . O valor de 
2018
n
n 1
z

 é: 
 
A ( ) 0 B ( )  
1
1 i
3 1


 C ( ) 
1 3
i
2 2
 
 
D ( )  
1
1 i i
3 1
 

 E ( )  
1
1 i 1
3 1
 

 
 
Questão 18. Sabendo que n é um número inteiro positivo, d é um dígito na base 10 e que 
n
0,d25d25d25...
810
 , a soma 
dos algarismos de n é: 
 
A ( ) 11 B ( ) 12 C ( ) 13 
D ( ) 14 E ( ) 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 19. Considere um sistema cartesiano ortogonal xOy de origem  O 0,0 . Analise a veracidade das afirmações: 
I. A parábola de reta diretriz x 2  e foco (2, 0) tem equação 2y 2x; 
 
II. A elipse com centro na origem, extremidades do eixo maior nos pontos  1A 1,0  e  2A 1,0 e extremidades do 
eixo menor nos pontos 1
1
B 0,
2
 
  
 
 e 2
1
B 0,
2
 
  
 
 tem equação 2 2x 4y 1  e excentricidade 
3
2
. 
 
III. A hipérbole de equação 2 24x 25y 100  tem seus focos  1F 29,0 e  2F 29,0 .  
 
É(São) verdadeira(s): 
 
A ( ) apenas II. B ( ) apenas I. C ( ) apenas III. 
D ( ) I e II. E ( ) II e III. 
 
Questão 20. Seja um hexaedro regular ABCD-EFGH, de aresta medindo 2 unidades. O plano determinado por D, o ponto 
médio R de CG e o baricentro do triângulo EFH intercepta a face EFGH em MN com M em FG e N em EH, podemos 
afirmar que o volume do sólido DNH-RMG é igual a: 
 
A ( ) 
312
15
 B ( ) 
316
15
 C ( ) 
326
15
 
 
D ( ) 
328
15
 E ( ) 
332
15
 
 
 
AS QUESTÕES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE 21 A 30, DEVEM SER RESOLVIDAS E 
RESPONDIDAS NO CADERNO DE SOLUÇÕES. 
 
 
Questão 21. Determine todos os valores do parâmetro real a para os quais a inequação 2x 2x a 4   admite apenas 
soluções negativas. 
 
Questão 22. Determine todos os valores do parâmetro real a tal que a equação  3 2 2 2x ax a 1 x a a 0      tenha três 
raízes reais, distintas e, em alguma ordem, formem uma progressão aritmética. 
 
Questão 23. Seja a circunferência   2 2: x y 4x 6y 35 0      e  P 6 ; 3 . Determine a equação do lugar geométrico 
dos centros das circunferências que passam por P e são tangentes a circunferência   na forma 
2 2Ax By Cx Dy F 0     . 
 
Questão 24. Dois jogadores, A e B, disputam a final de um campeonato que ocorre no formato “melhor de 7”. Em uma 
competição desse tipo, vence o jogador que vencer primeiro quatro partidas em até um máximo de sete. Além disso, a 
probabilidade do jogador A vencer uma partida é o dobro da probabilidade de B e uma partida nunca termina empatada. 
Sabendo que A venceu a final do campeonato, determine a probabilidade de ele ter encerrado na sétima partida. 
 
 
Questão 25. Na figura, temos um quadrado ABCD de lado a. Observe que foram 
construídas semicircunferências com diâmetros no lado BC e tangentes entre si e ao 
arco AC (do quadrante na figura). Calcule a área da enésima região semicircular na 
figura. 
 a
B C
A D
 
 
 
 
Questão 26. Para que valores de b a equação  
1 2
x
x x x25 2b 5 5 10 5 0
 
       possui exatamente duas soluções? 
 
Questão 27. O polinômio mônico  p x de coeficientes reais é tal que a equação  p x 0 é recíproca de 6° grau e segunda 
espécie e com x i uma de suas raízes. 
 
a) Mostre que  p x é divisível por 4x 1 ; 
 
b) Sabendo que os expoentes de x em  p x formam uma progressão aritmética de razão 2, determine o conjunto solução 
da equação  p x 0 . 
 
Questão 28. Determine as soluções reais da equação 2 31 x 4x 3x   . 
 
Questão 29. Num quadrado de lado , inscreve-se uma circunferência. Nesta circunferência, inscreve-se um triângulo 
equilátero e neste, outra circunferência. Se inscrevermos a esta última circunferência outro quadrado e continuarmos tais 
inscrições na mesma sequência (quadrado, circunferência, triângulo equilátero, circunferência e, novamente quadrado) 
indefinidamente, qual será a soma dos lados dos quadrados? 
 
Questão 30. Em um tronco de cone reto os raios das bases são 2 e 4. Calcule o raio da secção paralela às bases que dividem 
o tronco em dois troncos de mesmo volume.