7. Fuvest 2009 A soma dos cinco primeiros termos de uma PG, de razão negativa, é ½. Além disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo ...

a) A razão da PG é -1/2. b) A soma dos três primeiros termos da PG é -7/16. Resolução: Seja a1 o primeiro termo da PG e q a razão. Temos que: a1 + a1q + a1q^2 + a1q^3 + a1q^4 = 1/2 a1q^6 - a1q = 3 Dividindo a segunda equação por q, temos: a1q^5 - a1 = 3/q Multiplicando a primeira equação por q, temos: a1q + a1q^2 + a1q^3 + a1q^4 + a1q^5 = q/2 Subtraindo a segunda equação da terceira, temos: a1q^5 - a1q^4 - a1q^3 - a1q^2 - a1q + a1 = 1/2 - 3/q a1(q^5 - 1)/(q - 1) = (q - 6)/(2q) a1 = (q - 6)/(2q(q^4 + q^3 + q^2 + q + 1)) Substituindo a1 na primeira equação, temos: (q - 6)/(2q(q^4 + q^3 + q^2 + q + 1)) + (q^2 - 6q)/(2q(q^4 + q^3 + q^2 + q + 1)) + (q^4 - 6q^3)/(2q(q^4 + q^3 + q^2 + q + 1)) = 1/2 q^5 - 7q^4 + 15q^3 - 9q^2 + 1 = 0 (q - 1)(q^4 - 6q^3 + 9q^2 - 9q + 1) = 0 Como a razão é negativa, temos q = -1/2. Substituindo na equação q^5 - 7q^4 + 15q^3 - 9q^2 + 1 = 0, temos: q^4 - 6q^3 + 9q^2 - 9q + 1 = 0 (q - 1)^4 = 0 Logo, q = -1/2 é a única raiz real da equação. Portanto, a razão da PG é -1/2. Para encontrar a soma dos três primeiros termos, basta usar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG: Sn = a1(1 - q^n)/(1 - q) Assim, temos: S3 = a1(1 - q^3)/(1 - q) S3 = (q - 6)/(2q(q^4 + q^3 + q^2 + q + 1))(1 - (-1/2)^3)/(1 - (-1/2)) S3 = -7/16