(Fuvest 2007) Um arco x está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico e verifica a equação 5cos2x + 3senx = 4. Determine os valores de senx...

Para resolver essa questão, podemos utilizar as identidades trigonométricas para transformar a equação dada em uma equação que envolva apenas seno ou cosseno de x. Começando pela identidade cos(2x) = cos²(x) - sen²(x), podemos reescrever a equação como: 5(cos²(x) - sen²(x)) + 3sen(x) = 4 Agora, utilizando a identidade sen²(x) + cos²(x) = 1, podemos isolar sen(x) na equação: 5cos²(x) - 5 + 3sen(x) = 4 3sen(x) = 9 - 5cos²(x) sen(x) = (9 - 5cos²(x))/3 Como o arco x está no terceiro quadrante, sabemos que cos(x) é negativo e sen(x) é negativo. Substituindo na equação acima, temos: sen(x) = (9 - 5cos²(x))/3 sen(x) = (9 - 5(-cos²(x)))/3 sen(x) = (9 + 5cos²(x))/3 Portanto, os valores possíveis para sen(x) são (9 - 5cos²(x))/3 e (9 + 5cos²(x))/3. Para encontrar os valores de cos(x), podemos utilizar a identidade sen²(x) + cos²(x) = 1 e substituir os valores encontrados para sen(x): cos²(x) = 1 - sen²(x) cos²(x) = 1 - (9 - 5cos²(x))²/9 cos²(x) = (5cos²(x) - 8)/9 cos(x) = ±√[(5cos²(x) - 8)/9] Como cos(x) é negativo no terceiro quadrante, temos: cos(x) = -√[(5cos²(x) - 8)/9] Portanto, os valores possíveis para cos(x) são -√[(5cos²(x) - 8)/9].