Para resolver a equação \(5\cos(2x) + 3\sen(x) = 4\), vamos usar a identidade \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\). Assim, a equação se torna: \[ 5(2\cos^2(x) - 1) + 3\sen(x) = 4 \] Simplificando: \[ 10\cos^2(x) - 5 + 3\sen(x) = 4 \] \[ 10\cos^2(x) + 3\sen(x) - 9 = 0 \] Sabemos que \(\cos^2(x) = 1 - \sen^2(x)\). Substituindo isso na equação: \[ 10(1 - \sen^2(x)) + 3\sen(x) - 9 = 0 \] \[ 10 - 10\sen^2(x) + 3\sen(x) - 9 = 0 \] \[ -10\sen^2(x) + 3\sen(x) + 1 = 0 \] Multiplicando toda a equação por -1: \[ 10\sen^2(x) - 3\sen(x) - 1 = 0 \] Agora, podemos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática: \[ a = 10, \quad b = -3, \quad c = -1 \] Calculando o discriminante: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-1) = 9 + 40 = 49 \] Agora, aplicando a fórmula de Bhaskara: \[ \sen(x) = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm 7}{20} \] Isso nos dá duas soluções: 1. \( \sen(x) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \) 2. \( \sen(x) = \frac{-4}{20} = -\frac{1}{5} \) Como \(x\) está no terceiro quadrante, apenas a segunda solução é válida: \[ \sen(x) = -\frac{1}{5} \] Agora, para encontrar \(\cos(x)\), usamos a relação \(\cos^2(x) + \sen^2(x) = 1\): \[ \cos^2(x) = 1 - \left(-\frac{1}{5}\right)^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} \] Como estamos no terceiro quadrante, \(\cos(x)\) é negativo: \[ \cos(x) = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{2\sqrt{6}}{5} \] Portanto, os valores são: \[ \sen(x) = -\frac{1}{5} \quad \text{e} \quad \cos(x) = -\frac{2\sqrt{6}}{5} \]