24. (Fuvest 2007) Um arco x está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico e verifica a equação 5cos2x + 3senx = 4. Determine os valores de ...

Para resolver essa questão, podemos utilizar as identidades trigonométricas para transformar a equação dada em uma equação que envolva apenas seno ou cosseno de x. Começando pela identidade cos(2x) = cos²(x) - sen²(x), podemos reescrever a equação como: 5(cos²(x) - sen²(x)) + 3sen(x) = 4 Agora, utilizando a identidade sen²(x) + cos²(x) = 1, podemos substituir sen²(x) por 1 - cos²(x): 5cos²(x) - 5(1 - cos²(x)) + 3sen(x) = 4 Simplificando: 10cos²(x) + 3sen(x) = 9 Agora, podemos utilizar a identidade sen²(x) + cos²(x) = 1 novamente para substituir cos²(x) por 1 - sen²(x): 10(1 - sen²(x)) + 3sen(x) = 9 10 - 10sen²(x) + 3sen(x) = 9 10sen²(x) - 3sen(x) + 1 = 0 Podemos resolver essa equação do segundo grau utilizando a fórmula de Bhaskara: sen(x) = [3 ± √(9 - 40)]/20 sen(x) = [3 ± √(-31)]/20 Como não existe raiz quadrada de número negativo nos reais, concluímos que não há solução para a equação original. Portanto, não é possível determinar os valores de sen(x) e cos(x) que satisfazem a equação dada.