Resolva os seguintes sistemas de equações: a) senxseny tgxtgy      3 4 3 b) sen x seny cos x cos y       3 3 1 2 1 2 c) x y z tgxtg...

a) Para resolver o sistema de equações, podemos usar as seguintes identidades trigonométricas: tg(x) = sen(x)/cos(x) e tg(y) = sen(y)/cos(y) Substituindo essas identidades na primeira equação, temos: sen(x) * sen(y) * sen(x)/cos(x) * sen(y)/cos(y) = 3/4 * 3 Multiplicando ambos os lados por cos(x) * cos(y), temos: sen(x) * sen(y) * sen(x) * sen(y) = 9/4 * cos(x) * cos(y) Substituindo a identidade trigonométrica sen²(x) + cos²(x) = 1, temos: sen(x) * sen(y) * (1 - sen²(x)) * (1 - sen²(y)) = 9/4 * cos(x) * cos(y) Desenvolvendo essa equação, temos: sen(x) * sen(y) - sen⁴(x) * sen(y) - sen(x) * sen⁴(y) + sen⁶(x) * sen⁴(y) = 9/4 * cos(x) * cos(y) Usando a identidade trigonométrica sen²(x) = 1 - cos²(x), temos: sen(x) * sen(y) - (1 - cos²(x)) * sen(y) - sen(x) * (1 - cos²(y)) + (1 - cos²(x)) * (1 - cos²(y)) * sen⁴(x) = 9/4 * cos(x) * cos(y) Desenvolvendo essa equação, temos: sen(x) * sen(y) - sen(y) + cos²(x) * sen(y) - sen(x) + cos²(y) * sen(x) - cos²(x) * cos²(y) * sen(x) + cos²(x) * cos²(y) = 9/4 * cos(x) * cos(y) Agora, podemos usar a identidade trigonométrica cos²(x) = 1 - sen²(x) para substituir as ocorrências de cos²(x) na equação: sen(x) * sen(y) - sen(y) + (1 - sen²(x)) * sen(y) - sen(x) + (1 - sen²(y)) * sen(x) - (1 - sen²(x)) * (1 - sen²(y)) * sen(x) + (1 - sen²(x)) * (1 - sen²(y)) = 9/4 * cos(x) * cos(y) Desenvolvendo essa equação, temos: 2 * sen(x) * sen(y) - sen³(x) * sen(y) - sen(x) * sen³(y) + sen⁵(x) * sen³(y) = 9/4 * (1 - sen²(x)) * (1 - sen²(y)) Usando a identidade trigonométrica sen²(x) + cos²(x) = 1 novamente, temos: 2 * sen(x) * sen(y) - sen³(x) * sen(y) - sen(x) * sen³(y) + sen⁵(x) * sen³(y) = 9/4 * cos²(x) * cos²(y) Substituindo a identidade trigonométrica tg²(x) = sec²(x) - 1, temos: 2 * sen(x) * sen(y) - sen³(x) * sen(y) - sen(x) * sen³(y) + sen⁵(x) * sen³(y) = 9/4 * (1/(1 + tg²(x))) * (1/(1 + tg²(y))) Multiplicando ambos os lados por (1 + tg²(x)) * (1 + tg²(y)), temos: 2 * sen(x) * sen(y) * (1 + tg²(x)) * (1 + tg²(y)) - sen³(x) * sen(y) * (1 + tg²(x)) * (1 + tg²(y)) - sen(x) * sen³(y) * (1 + tg²(x)) * (1 + tg²(y)) + sen⁵(x) * sen³(y) = 9/4 Desenvolvendo essa equação, temos: 2 * sen(x) * sen(y) + 2 * sen(x) * sen(y) * tg²(x) + 2 * sen(x) * sen(y) * tg²(y) + 2 * sen(x) * sen(y) * tg²(x) * tg²(y) - sen³(x) * sen(y) - sen(x) * sen³(y) - sen³(x) * sen(y) * tg²(x) * tg²(y) + sen⁵(x) * sen³(y) = 9/4 Essa é a solução do sistema de equações. b) Para resolver o sistema de equações, podemos usar as seguintes identidades trigonométricas: sen(x) * cos(y) = (sen(x + y) + sen(x - y))/2 e sen(x) * sen(y) = (cos(x - y) - cos(x + y))/2 Substituindo essas identidades na primeira equação, temos: sen(x) * sen(y) * (cos(x - y) - cos(x + y))/2 = 3/3 Multiplicando ambos os lados por 2, temos: sen(x) * sen(y) * (cos(x - y) - cos(x + y)) = 2 Usando a identidade trigonométrica cos(x - y) = cos(x) * cos(y) + sen(x) * sen(y) e cos(x + y) = cos(x) * cos(y) - sen(x) * sen(y), temos: sen(x) * sen(y) * (cos(x) * cos(y) + sen(x) * sen(y) - cos(x) * cos(y) + sen(x) * sen(y)) = 2 Desenvolvendo essa equação, temos: 2 * sen(x) * sen(y) * cos(x) * cos(y) = 2 Dividindo ambos os lados por 2 * cos(x) * cos(y), temos: sen(x) * sen(y) = 1 Isso implica que sen(x) = sen(y) = ±1. No entanto, isso não é possível, pois sen(x) e sen(y) têm que estar entre -1 e 1. Portanto, não há solução para esse sistema de equações. c) Para resolver o sistema de equações, podemos usar as seguintes identidades trigonométricas: tg(x) = sen(x)/cos(x) e tg(y) = sen(y)/cos(y) Substituindo essas identidades na primeira equação, temos: x + y + z = π/2 * tg(x) * tg(z) * tg(y) Substituindo essas identidades na segunda equação, temos: x * y * z = 18 * tg(x) * tg(z) * tg(y) Dividindo a primeira equação pela segunda, temos: (x + y + z)/(x * y * z) = π/36 Usando a identidade trigonométrica tg(x) * tg(z) = tg(x + z) - tg(x) - tg(z), temos: (x + y + z)/(x * y * z) = π/36 (x + y + z)/(x * y * z) = 1/tg(x + z) - 1/tg(x) - 1/tg(z) Multiplicando ambos os lados por tg(x) * tg(z), temos: (x + y + z) * tg(x) * tg(z) = x * tg(z) + z * tg(x) - x * tg(x) + z * tg(z) - y Substituindo a identidade trigonométrica tg(x) = sen(x)/cos(x) e tg(z) = sen(z)/cos(z), temos: (x + y + z) * sen(x) * sen(z)/(cos(x) * cos(z)) = x * sen(z)/cos(z) + z * sen(x)/cos(x) - x * sen(x)/cos(x) + z * sen(z)/cos(z) - y Multiplicando ambos os lados por cos(x) * cos(z), temos: (x + y + z) * sen(x) * sen(z) = x * sen(z) * cos(x) + z * sen(x) * cos(z) - x * sen(x) * cos(z) + z * sen(z) * cos(x) - y * cos(x) * cos(z) Substituindo a identidade trigonométrica sen²(x) + cos²(x) = 1, temos: (x + y + z) * sen(x) * sen(z) = x * sen(z) * sen(x) + z * sen(x) * sen(z) - x * cos(x) * cos(z) * sen(z) + z * cos(x) * cos(z) * sen(x) - y * cos(x) * cos(z) Usando a identidade trigonométrica sen(x + z) = sen(x) * cos(z) + sen(z) * cos(x), temos: (x + y + z) * sen(x) * sen(z) = sen(x + z) * (x * cos(z) + z * cos(x)) - y * cos(x) * cos(z) Substituindo a identidade trigonométrica tg(x) * tg(z) = tg(x + z) - tg(x) - tg(z) novamente, temos: (x + y + z) * sen(x) * sen(z) = (tg(x + z) - tg(x) - tg(z)) * (x * cos(z) + z * cos(x)) - y * cos(x) * cos(z) Desenvolvendo essa equação, temos: (x + y + z) * sen(x) * sen(z) = x * cos(x) * cos(z) + z * cos(x) * cos(z) - y * cos(x) * cos(z) (x + y + z) * sen(x) * sen(z) = cos(x) * cos(z) * (x + z - y) Usando a identidade trigonométrica sen²(x) + cos²(x) = 1 novamente, temos: (x + y + z) * sen(x) * (1 - sen²(z)) = (1 - sen²(x)) * (1 - sen²(z)) * (x + z - y) Desenvolvendo essa equação, temos: (x + y + z) * sen(x) - (x + z - y) * (1 - sen²(x)) = (1 - sen²(x)) * (1 - sen²(z)) * (x + z - y) / (1 - sen²(z)) Usando a identidade trigonométrica sen²(x) = 1 - cos²(x) novamente, temos: (x + y + z) * sen(x) - (x + z - y) * cos²(x) = (1 - cos²(x)) * (1 - sen²(z)) * (x + z - y) / cos²(z) Desenvolvendo essa equação, temos: (x + y + z) * sen(x) - (x + z - y) * cos²(x) = (sen²(z) + cos²(z) - cos²(x) * sen²(z)) * (x + z - y) / cos²(z) Usando a identidade trigonométrica sen²(x) + cos²(x) = 1 novamente, temos: (x + y + z) * sen(x) - (x + z - y) * (1 - sen²(x)) = (1 - sen²(x)) * (1 - sen²(z)) * (x + z - y) / cos²(z) Desenvolvendo essa equação, temos: (x + y + z) * sen(x) - (x + z - y) + (x + z - y) * sen²(x) = (1 - sen²(x)) * (1 - sen²(z)) * (x + z - y) / cos²(z) Usando a identidade trigonométrica sen²(x) = 1 - cos²(x) novamente, temos: (x + y + z) * sen(x) - (x + z - y) + (x + z - y) * (1 - cos²(x)) = (1 - sen²(x)) * (1 - sen²(z)) * (x + z - y) / cos²(z) Desenvolvendo essa equação, temos: (x + y + z) * sen(x) - (x + z - y) * cos²(x) + (x + z - y) * sen²(x) = (1 - sen²(x)) * (1 - sen²(z)) * (x + z - y) / cos²(z) Usando a identidade trigonométrica sen²(x) + cos²(x) = 1 novamente, temos: (x + y + z) * sen(x) - (x + z - y) * cos²(x) + (x + z - y) * (1 - cos²(x)) = (1 - sen²(x)) * (1 - sen²(z)) * (x + z - y) / cos²(z) Desenvolvendo essa equação, temos: (x + y + z) * sen(x) - (x + z - y) * cos²(x) + (x + z - y) - (x + z - y) * cos²(x) = (1 - sen²(x)) * (1 - sen²(z)) * (x + z - y) / cos²(z) Usando a identidade trigonométrica cos²(x) = 1 - sen²(x) novamente, temos: (x + y + z) * sen(x) - (x + z - y) * (1 - sen²(x)) + (x + z - y) - (x + z - y) * (1 - sen²(x)) = (1 - sen²(x)) * (1 - sen²(z)) * (x + z - y) / cos²(z) Desenvolvendo essa equação, temos: (x + y + z) * sen(x) + (x + z - y) * sen²(x) + (x + z - y) = (1 - sen²(x)) * (1 - sen²(z)) * (x + z - y) / cos²(z) Usando a identidade trigonométrica sen²(x) = 1 - cos²(x) novamente, temos: (x + y + z) * sen(x) + (x + z - y) * (1 - cos²(x)) + (x + z - y) = (1 - sen²(x)) * (1 - sen²(z)) * (x + z - y) / cos²(z) Desenvolvendo essa equação, temos: (x + y + z) * sen(x) + (x + z - y) * sen²(x) + (x + z - y) = (cos²(x) * cos²(z)) * (x + z - y) / cos²(z) Usando a identidade trigonométrica sen²(x) + cos²(x) = 1 novamente, temos: (x + y + z) * sen(x) + (x + z - y) * (1 - sen²(x)) + (x + z - y) = cos²(x) * (x + z - y) Desenvolvendo essa equação, temos: (x + y + z) * sen(x) + (x + z - y) * cos²(x) + (x + z - y) = cos²(x) * (x + z - y) (x + y + z) * sen(x) + (x + z - y) * cos²(x) + (x + z - y) - cos²(x) * (x + z - y) = 0 (x + z - y) * (sen(x) - cos²(x)) + (x + z - y) = 0 (x + z - y) * (sen(x) - cos²(x) + 1) = 0 Isso implica que x + z - y = 0 ou sen(x) = cos²(x) - 1. No entanto, a primeira opção implica que x + z = y, o que não é possível, pois x, y e z têm que ser diferentes. Portanto, a única solução é sen(x) = cos²(x) - 1. d) Para resolver o sistema de equações, podemos usar as seguintes identidades trigonométricas: sen(2x) = 2 * sen(x) * cos(x) e cos(2x) = cos²(x) - sen²(x) Substituindo essas identidades na segunda equação, temos: sen(x) * cos(x) * (cos²(x) - sen²(x)) = 2 Usando a identidade trigonométrica sen²(x) + cos²(x) = 1, temos: sen(x) * cos(x) * (1 - 2 * sen²(x)) = 2 Substituindo a identidade trigonométrica sen²(x) = 1 - cos²(x), temos: sen(x) * cos(x) * (1 - 2 * (1 - cos²(x))) = 2 Desenvolvendo essa equação, temos: 2 * sen²(x) * cos(x) = 2 Dividindo ambos os lados por 2 * sen(x), temos: sen(x) * cos(x) = 1 Isso implica que sen(2x) = 2 * sen(x) * cos(x) = 2. Portanto, x não pode ser um número real. e) Para resolver o sistema de equações, podemos usar as seguintes identidades trigonométricas: sen²(x) + cos²(x) = 1 e sen(2x) = 2 * sen(x) * cos(x) Substituindo essas identidades na primeira equação, temos: x² + y² + z² = 2 * x * y + 2 * y * z + 2 * z * x Substituindo essas identidades na segunda equação, temos: x * y * z = x * y * (x² + y²) + y * z * (y² + z²) + z * x * (z² + x²) Usando a identidade trigonométrica sen²(x) + cos²(x) = 1, temos: x * y * z = x * y * (1 - x² - y²) + y * z * (1 - y² - z²) + z * x * (1 - z² - x²) Desenvolvendo essa equação, temos: x * y * z = x * y - x³ * y - x * y³ + x⁵ * y + y * z - y³ * z - y * z³ + y⁵ * z + z * x - z³ * x - z * x³ + z⁵ * x Usando a identidade trigonométrica sen(2x) = 2 * sen(x) * cos(x), temos: x * y * z = 2 * x * y * cos(2z) + 2 * y * z * cos(2x) + 2 * z * x * cos(2y) Substituindo a identidade trigonométrica cos(2x) = cos²(x) - sen²(x), temos: x * y * z = 2 * x * y * (cos²(z) - sen²(z)) + 2 * y * z * (cos²(x) - sen²(x)) + 2 * z * x * (cos²(y) - sen²(y)) Desenvolvendo essa equação, temos: x * y * z = 2 * x * y * cos²(z) - 2 * x * y * sen²(z) + 2 * y * z * cos²(x) - 2 * y * z * sen²(x) + 2 * z * x * cos²(y) - 2 * z * x * sen²(y) Usando a identidade trigonométrica sen²(x) + cos²(x) = 1 novamente, temos: x * y * z = 2 * x * y * (1 - sen²(z)) - 2 * x * y * sen²(z) + 2 * y * z * (1 - sen²(x)) - 2 * y * z * sen²(x) + 2 * z * x * (1 - sen²(y)) - 2 * z * x * sen²(y) Desenvolvendo essa equação, temos: x * y * z = 2 * x * y - 2 * x * y * sen²(z) + 2 * y * z - 2 * y * z * sen²(x) + 2 * z * x - 2 * z * x * sen²(y) Usando a identidade trigonométrica sen²(x) = 1 - cos²(x) novamente, temos: x * y * z = 2 * x * y - 2 * x * y * (1 - cos²(z)) + 2 * y * z - 2 * y * z * (1 - cos²(x)) + 2 * z * x - 2 * z * x * (1 - cos²(y)) Desenvolvendo essa equação, temos: x * y * z = 2 * x * y * cos²(z) + 2 * y * z * cos²(x) + 2 * z * x * cos²(y) Substituindo a identidade trigonométrica cos(2x) = cos²(x) - sen²(x) novamente, temos: x * y * z = 2 * x * y * (cos²(z) + sen²(z)) / 2 + 2 * y * z * (cos²(x) + sen²(x)) / 2 + 2 * z * x * (cos²(y) + sen²(y)) / 2 Desenvolvendo essa equação, temos: x * y * z = x * y + y * z + z * x Essa é a solução do sistema de equações. f) Para resolver o sistema de equações, podemos usar as seguintes identidades trigonométricas: sen(2x) = 2 * sen(x) * cos(x) e cos(2x) = cos²(x) - sen²(x) Substituindo essas identidades na segunda equação, temos: x * y - x² * y - x * y² + x³ * y + y³ * x = x * y + y * z + z * x Subtraindo x * y + y * z + z * x de ambos os lados, temos: - x² * y - x * y² + x³ * y + y³ * x - y * z - z * x = 0 Dividindo ambos os lados por -x * y, temos: x + y²/x - y/x - y/z - z/x = 0 Multiplicando ambos os lados por x * z, temos: x² * z + y * z - x * y * z - y² * z - x * z² = 0 Substituindo a identidade trigonométrica sen(2x) = 2 * sen(x) * cos(x), temos: 2 * x * y * cos(z) + 2 * y * z * cos(x) - 2 * z * x * cos(y) - y² * z - x * z² = 0 Substituindo a identidade trigonométrica cos(2x) = cos²(x) - sen²(x), temos: 2 * x * y * (cos²(z) - sen²(z)) + 2 * y * z * (cos²(x) - sen²(x)) - 2 * z * x * (cos²(y) - sen²(y)) - y² * z - x * z² = 0 Desenvolvendo essa equação, temos: 2 * x * y * cos²(z) - 2 * x * y * sen²(z) + 2 * y * z * cos²(x) - 2 * y * z * sen²(x) - 2 * z * x * cos²(y) + 2 * z * x * sen²(y) - y² * z - x * z² = 0 Usando a identidade trigonométrica sen²(x) + cos²(x) = 1, temos: 2 * x * y * (1 - sen²(z)) - 2 * x * y * sen²(z) + 2 * y * z * (1 - sen²(x)) - 2 * y * z * sen²(x) - 2 * z * x * (1 - cos²(y)) + 2 * z * x * cos²(y) - y² * z - x * z² = 0 Desenvolvendo essa equação, temos: 2 * x * y - 2 * x * y * sen²(z) + 2 * y * z - 2 * y * z * sen²(x) - 2 * z * x + 2 * z * x * cos²(y) - y² * z - x * z² = 0 Usando a identidade trigonométrica sen²(x) = 1 - cos²(x), temos: 2 * x * y - 2 * x * y * (1 - cos²(z)) + 2 * y * z - 2 * y * z * (1 - cos²(x)) - 2 * z * x + 2 * z * x * cos²(y) - y² * z - x * z² = 0 Desenvolvendo essa equação, temos: 2 * x * y * cos²(z) + 2 * y * z * cos²(x) + 2 * z * x * cos²(y) - y² * z - x * z² = 0 Essa é a solução do sistema de equações. g) Para resolver o sistema de equações, podemos usar as seguintes identidades trigonométricas: sen(2x) = 2 * sen(x) * cos(x) e cos(2x) = cos²(x) - sen²(x) Substituindo essas identidades na segunda equação, temos: y - x - y * cos(2x) + x * sen(2y) = 0 Substituindo a identidade trigonométrica sen(2x) = 2 * sen(x) * cos(x) e cos(2x) = cos²(x) - sen²(x), temos: y - x - y * (cos²(x) - sen²(x)) + x * (2 * sen(y) * cos(y)) = 0 Desenvolvendo essa equação, temos: y - x - y * cos²(x) + y * sen²(x) + 2 * x * sen(y) * cos(y) = 0 Usando a identidade trigonométrica sen²(x) + cos²(x) = 1, temos: y - x - y * (1 - sen²(x)) + y * sen²(x) + 2 * x * sen(y) * cos(y) = 0 Desenvolvendo essa equação, temos: y - x - y + y * sen²(x) + 2 * x * sen(y) * cos(y) = 0 Usando a identidade trigonométrica sen²(x) = 1 - cos²(x), temos: y - x - y + y * (1 - cos²(x)) + 2 * x * sen(y) * cos(y) = 0 Desenvolvendo essa equação, temos: y - x - y + y * cos²(x) + 2 * x * sen(y) * cos(y) = 0 y * cos²(x) + 2 * x * sen(y) * cos(y) = x - y Substituindo a identidade trigonométrica sen(2y) = 2 * sen(y) * cos(y), temos: y * cos²(x) + x * sen(2y) = x - y y * cos²(x) + x * (2 * sen(y) * cos(y)) = x - y y * cos²(x) + 2 * x * sen(y) * cos(y) = x - y y * cos²(x) + 2 * x * (sen(x) * cos(y) + cos(x) * sen(y)) * cos(y) = x - y y * cos²(x) + 2 * x * sen(x) * cos²(y) + 2 * x * cos(x) * sen(y) * cos(y) = x - y y * cos²(x) + 2 * x * sen(x) * (1 - cos²(y)) + 2 * x * cos(x) * sen(y) * cos(y) = x - y y * cos²(x) + 2 * x * sen(x) - 2 * x * sen(x) * cos²(y) + 2 * x * cos(x) * sen(y) * cos(y) = x - y y * cos²(x) + 2 * x * sen(x) * (1 - cos²(y)) + 2 * x * cos(x) * sen(y) * cos(y) - x + y = 0 y * cos²(x) + 2 * x * sen(x) * (1 - cos²(y)) + 2 * x * cos(x) * sen(y) * cos(y) - x + y + cos²(x) - cos²(x) = 0 y * cos²(x) + 2 * x * sen(x) * (1 - cos²(y)) + 2 * x * cos(x) * sen(y) * cos(y) - x * cos²(x) + y * cos²(x) - cos²(x) = 0 y * cos²(x) + 2 * x * sen(x) * (1 - cos²(y)) + 2 * x * cos(x) * sen(y) * cos(y) - x * (1 - sin²(x)) + y * cos²(x) - (1 - sin²(x)) = 0 y * cos²(x) + 2 * x * sen(x) * (1 - cos²(y)) + 2 * x * cos(x) * sen(y) * cos(y) - x + x * sin²(x) + y * cos²(x) - 1 + sin²(x) = 0 y * cos²(x) + 2 * x * sen(x) * (1 - cos²(y)) + 2 * x * cos(x) * sen(y) * cos(y) + x * sin²(x) + y * cos²(x) + sin²(x) - 1 = 0 Essa é a solução do sistema de equações. h) Para resolver o sistema de equações, podemos usar as seguintes identidades trigonométricas: sen(2x) = 2 * sen(x) * cos(x) e cos(2x) = cos²(x) - sen²(x) Substituindo essas identidades na segunda equação, temos: x - y + y * cos(2x) - x * cos(2y) = 0 Substituindo a identidade trigonométrica cos(2x) = cos²(x) - sen²(x) e cos(2y) = cos²(y) - sen²(y), temos: x - y + y * (cos²(x) - sen²(x)) - x * (cos²(y) - sen²(y)) = 0 Desenvolvendo essa equação, temos: x - y + y * cos²(x) - y * sen²(x) - x * cos²(y) + x * sen²(y) = 0 Usando a identidade trigonométrica sen²(x) + cos²(x) = 1, temos: x - y + y * cos²(x) - y * (1 - cos²(x)) - x * cos²(y) + x * sen²(y) = 0 Desenvolvendo essa equação, temos: x - y + y * (2 * cos²(x) - 1) - x * cos²(y) + x