(Unifesp) A figura mostra uma circunferência, de raio 4 e centro C1 , que tangencia internamente a circunferência maior, de raio R e centro C2. Sab...

Para encontrar a área da região hachurada, precisamos primeiro encontrar a área do setor circular menor e subtrair a área do triângulo retângulo ATB. O ângulo central do setor circular menor é 90 graus, pois a reta que passa por C1 e C2 é perpendicular a AB. Portanto, a área do setor circular menor é (1/4)πr², onde r é o raio da circunferência menor. Usando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ATB, temos: AB² = AT² + TB² 8² = (R - 4)² + 4² 64 = R² - 8R + 16 + 16 R² - 8R - 32 = 0 (R - 4)(R - 8) = 0 Como R é o raio da circunferência maior, R = 8 é a única solução válida. Portanto, a área do setor circular menor é (1/4)π(4²) = 4π e a área do triângulo retângulo ATB é (1/2)(4)(8) = 16. A área da região hachurada é a diferença entre essas duas áreas, ou seja, 4π - 16 = 12π. Portanto, a alternativa correta é a letra b) 12π.