(FUVEST 2017) Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6 cm. Os pontos E, F, G, H e I são os pontos médios das arestas AB, BC, A...

a) Para determinar a área do triângulo EFH, podemos utilizar a fórmula da área de um triângulo, que é dada por A = (base x altura) / 2. Como EF é uma aresta do tetraedro, sua medida é 6/2 = 3 cm. Além disso, a altura do triângulo EFH é dada pela altura do tetraedro, que é a altura de uma pirâmide regular de base equilátera. Essa altura pode ser calculada por h = (raiz(6^2 - 3^2))/3 = (raiz(27))/3 = raiz(3). Portanto, a área do triângulo EFH é A = (3 x raiz(3)) / 2. b) Para calcular a área do quadrilátero EGIH, podemos dividir esse quadrilátero em dois triângulos, EGI e IHG, e somar as áreas desses triângulos. Cada um desses triângulos é um triângulo equilátero, pois é formado por duas arestas do tetraedro e uma diagonal do quadrilátero. Assim, a medida da base de cada triângulo é 6/2 = 3 cm, e a altura é dada pela altura do tetraedro, que já calculamos na letra a). Portanto, a área do quadrilátero EGIH é A = 2 x (3 x raiz(3)) / 2 = 3 x raiz(3). c) Para determinar o volume da pirâmide de vértices E, G, I, H e F, cuja base é o quadrilátero EGIH, podemos utilizar a fórmula do volume de uma pirâmide, que é dada por V = (1/3) x A_base x altura. A base da pirâmide é o quadrilátero EGIH, cuja área já calculamos na letra b). A altura da pirâmide é a altura do tetraedro, que também já calculamos na letra a). Portanto, o volume da pirâmide é V = (1/3) x (3 x raiz(3)) x raiz(3) = raiz(3).