(Fuvest 2017) Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6 cm. Os pontos E, F, G, H e I são os pontos médios das arestas AB, BC, ...

a) Para determinar a área do triângulo EFH, podemos utilizar a fórmula da área de um triângulo, que é dada por A = (base x altura) / 2. Sabemos que EF e FH são arestas do tetraedro, portanto, medem 6/2 = 3 cm cada uma. Além disso, sabemos que o ângulo entre essas arestas é de 60 graus, pois o tetraedro é regular. Assim, podemos calcular a altura do triângulo como h = 3 x √3 / 2. Substituindo na fórmula da área, temos A = (3 x h) / 2 = 9√3 / 4 cm². b) Para calcular a área do quadrilátero EGIH, podemos dividir esse quadrilátero em dois triângulos, EGI e IHG, e somar as áreas de cada um deles. Cada um desses triângulos é isósceles, com base medindo 6/2 = 3 cm e altura medindo 3√3 cm (pois o ângulo entre as arestas é de 60 graus). Assim, a área de cada triângulo é A = (base x altura) / 2 = 9√3 / 4 cm². Somando as áreas dos dois triângulos, temos que a área do quadrilátero EGIH é 9√3 / 2 cm². c) Para determinar o volume da pirâmide de vértices E, G, I, H e F, podemos utilizar a fórmula do volume de uma pirâmide, que é dada por V = (base x altura) / 3. Sabemos que a base da pirâmide é o quadrilátero EGIH, cuja área já calculamos no item b). Para calcular a altura da pirâmide, podemos utilizar o teorema de Pitágoras no triângulo EGI, que é retângulo em G. Assim, temos que a altura da pirâmide é h = √(6² - 3²) = 3√3 cm. Substituindo na fórmula do volume, temos V = (9√3 / 2 x 3√3) / 3 = 27√3 / 4 cm³.