Seja ????(????) = ????^2 + ???????? + ????. Sabe-se que ????(????) e ????(????(????(????))) têm uma raiz em comum. Pode-se afirmar que para todo valor ???? e ???? a) ????(−1)????...

Seja f(x) = x^2 + ax + b. Sabemos que f(x) e f(g(h(x))) têm uma raiz em comum. Podemos afirmar que para todo valor de a e b: a) f(-1)f(1) < 0. Explicação: Se f(x) e f(g(h(x))) têm uma raiz em comum, então essa raiz é uma raiz comum de f(x) e g(h(x)). Portanto, temos que f(r) = g(h(r)) para algum número r. Assim, temos que: f(-1) = (-1)^2 + a(-1) + b = 1 - a + b f(1) = 1 + a + b e g(h(-1)) = f(r) = g(h(1)) g(h(1)) = f(r) = g(h(-1)) Como f(r) é uma raiz comum de f(x) e g(h(x)), temos que: g(h(-1)) = f(r) = g(h(1)) Substituindo g(h(-1)) e g(h(1)) por suas respectivas expressões em termos de a e b, temos: (h(-1))^2 + a(h(-1)) + b = (h(1))^2 + a(h(1)) + b Simplificando, temos: (h(-1))^2 + a(h(-1)) = (h(1))^2 + a(h(1)) (h(-1))^2 - (h(1))^2 = a(h(1)) - a(h(-1)) (h(-1) + h(1))(h(-1) - h(1)) = a(h(1) - h(-1)) (h(-1) + h(1))(h(-1) - h(1)) = a(h(1) - h(-1)) (h(-1) + h(1)) = a Assim, temos que a = h(-1) + h(1). Agora, vamos analisar a expressão f(-1)f(1): f(-1)f(1) = (1 - a + b)(1 + a + b) = 1 - a^2 + b^2 Substituindo a por h(-1) + h(1), temos: f(-1)f(1) = 1 - (h(-1) + h(1))^2 + b^2 Como f(x) e f(g(h(x))) têm uma raiz em comum, então essa raiz é uma raiz comum de f(x) e g(h(x)). Portanto, temos que f(r) = g(h(r)) para algum número r. Assim, temos que: f(0) = b f(1) = 1 + a + b e g(h(0)) = f(r) = g(h(1)) g(h(1)) = f(r) = g(h(0)) Como f(r) é uma raiz comum de f(x) e g(h(x)), temos que: g(h(0)) = f(r) = g(h(1)) Substituindo g(h(0)) e g(h(1)) por suas respectivas expressões em termos de a e b, temos: (h(0))^2 + a(h(0)) + b = (h(1))^2 + a(h(1)) + b Simplificando, temos: (h(0))^2 + a(h(0)) = (h(1))^2 + a(h(1)) (h(0))^2 - (h(1))^2 = a(h(1)) - a(h(0)) (h(0) + h(1))(h(0) - h(1)) = a(h(1) - h(0)) (h(0) + h(1))(h(0) - h(1)) = -a(h(0) - h(1)) (h(0) - h(1)) = -a Assim, temos que a = - (h(0) - h(1)). Agora, vamos analisar a expressão f(0)f(1): f(0)f(1) = b(1 + a + b) = b + ab + b^2 Substituindo a por - (h(0) - h(1)), temos: f(0)f(1) = b - b(h(0) - h(1)) + b^2 Somando as expressões f(-1)f(1) e f(0)f(1), temos: f(-1)f(1) + f(0)f(1) = 2b + b^2 Como f(-1)f(1) + f(0)f(1) = (1 - a^2 + b^2) + (b + ab + b^2) = 1 - a^2 + 2b + ab + b^2, temos: 1 - a^2 + 2b + ab + b^2 = 2b + b^2 Simplificando, temos: 1 - a^2 + ab = 0 Assim, temos que: ab = a^2 - 1 Substituindo a por h(-1) + h(1), temos: ab = (h(-1) + h(1))^2 - 1 ab = h(-1)^2 + 2h(-1)h(1) + h(1)^2 - 1 ab = (h(-1) + h(1))^2 - 2 - 1 ab = a^2 - 3 Substituindo a por - (h(0) - h(1)), temos: ab = (- (h(0) - h(1)))^2 - 3 ab = h(0)^2 - 2h(0)h(1) + h(1)^2 - 3 ab = (h(0) - h(1))^2 - 3 Assim, temos que: (h(0) - h(1))^2 = ab + 3 Substituindo essa expressão em f(-1)f(1), temos: f(-1)f(1) = 1 - a^2 + b^2 = 1 - (h(-1) + h(1))^2 + b^2 f(-1)f(1) = 1 - (h(0) - h(1))^2 + b^2 f(-1)f(1) = 1 - (ab + 3) + b^2 f(-1)f(1) = b^2 - ab - 2 Substituindo ab por a^2 - 1, temos: f(-1)f(1) = b^2 - a^2 + 1 - 2 f(-1)f(1) = b^2 - a^2 - 1 Substituindo a por h(-1) + h(1), temos: f(-1)f(1) = b^2 - (h(-1) + h(1))^2 - 1 f(-1)f(1) = b^2 - h(-1)^2 - 2h(-1)h(1) - h(1)^2 - 1 f(-1)f(1) = b^2 - (h(-1) + h(1))^2 - 2 Substituindo essa expressão em a), temos: f(-1)f(1) = b^2 - (h(-1) + h(1))^2 - 2 < 0 Portanto, a alternativa correta é a letra a).