10 28 - Equações Polinomiais II

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Prof. Johnny 
Matemática 
 
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Equações Polinomiais II 
 
1. (Uem 2018) Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎3𝑥
3 +
𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0, em que os coeficientes são todos reais. 
Assinale o que for correto. 
01) Se 𝑎0 é não nulo, então o zero nunca será raiz desse 
polinômio. 
02) Se 𝑎3 = 0, então esse polinômio poderá ser fatorado 
na forma (𝑥 − 𝑟1)(𝑥 − 𝑟2), em que 𝑟1 e 𝑟2 são raízes do 
polinômio. 
04) Se 𝑎2 = 1 e 4 e 5 são as únicas raízes reais de 
multiplicidade 1 do polinômio, então teremos que 𝑎3 =
0 e 𝑎0 = 20. 
08) Se 𝑎3 ≠ 0, então é possível que esse polinômio tenha 
apenas duas raízes reais de multiplicidade 1. 
16) Se 1,  2 e 3 são raízes do polinômio, então 𝑎1 = 11𝑎3. 
 
2. (Unioeste 2018) As raízes do polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥4 +
𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥 + 𝑒, são iguais a 𝑖, −𝑖,  3 e 
1
2
. Sobre 𝑃(𝑥), 
pode-se então afirmar que 
a) a soma dos coeficientes é igual a 
7
2
. 
b) os coeficientes 𝑏,  𝑐,  𝑑 e 𝑒 são números inteiros pares. 
c) o coeficiente e é múltiplo de 3. 
d) os coeficientes 𝑏,  𝑐,  𝑑 e 𝑒 são números racionais. 
e) os coeficientes 𝑏,  𝑐,  𝑑 e 𝑒 não são números reais. 
 
3. (Uepg 2017) Considerando que a equação 𝑥4 − 4𝑥3 +
4𝑥2 − 1 = 0 admite pelo menos uma raiz inteira, assinale o 
que for correto. 
01) A soma das raízes é um número par e natural. 
02) As quatro raízes são distintas. 
04) Se n é a maior das raízes não inteiras, então 𝑛 +
1
𝑛
=
2√2. 
08) Apenas duas das raízes são negativas. 
16) A soma das raízes não inteiras é um número inteiro 
negativo. 
 
4. (Uepg 2017) Um polinômio 𝑃(𝑥) do terceiro grau possui 
três raízes reais, de tal forma que, se forem colocadas em 
ordem crescente formam uma progressão aritmética em 
que a soma de seus termos é 12. A diferença entre o 
quadrado da maior raiz e o quadrado da menor é 160. 
Sabendo que o coeficiente do termo de maior grau de 
𝑃(𝑥) é 2, assinale o que for correto. 
01) Todas as raízes do polinômio são números inteiros 
relativos. 
02) A divisão do polinômio 𝑃(𝑥) por 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 6 é exata. 
04) A soma dos coeficientes do polinômio é um número 
maior que 500. 
08) A soma das raízes do polinômio é solução da equação 
𝑥2 + 14𝑥 + 24 = 0. 
16) O coeficiente do termo independente de x de 𝑃(𝑥) é 
maior que 252. 
 
5. (Fmp 2016) Seja 𝑓:ℝ → ℝ a função polinomial definida 
por 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥3 + 3𝑥 − 9. 
O fato de 𝑥 = 3 ser um zero da função 𝑓 é equivalente ao 
fato de o polinômio 𝑥4 − 3𝑥3 + 3𝑥 − 9 ser divisível por 
a) 𝑥2 − 9 
b) 𝑥 + 3 
c) 3 
d) 𝑥 − 3 
e) 𝑥 
 
6. As raízes positivas da equação 𝑥4 − 10𝑥2 + 9 = 0 são 
as medidas das bases de um trapézio isósceles cuja altura 
é a soma dessas mesmas raízes. 
A área desse trapézio é 
a) 4 
b) 8 
c) 10 
d) 25 
 
7. (Epcar (Afa) 2016) Considere os polinômios 𝑄(𝑥) =
𝑥2 − 2𝑥 + 1 e 𝑃(𝑥) = 𝑥3−3𝑥2 − 𝑎𝑥 + 𝑏, sendo 𝑎 e 𝑏 
números reais tais que 𝑎2 − 𝑏2 = −8. 
Se os gráficos de 𝑄(𝑥) e 𝑃(𝑥) têm um ponto comum que 
pertence ao eixo das abscissas, então é INCORRETO 
afirmar sobre as raízes de 𝑃(𝑥) que 
a) podem formar uma progressão aritmética. 
b) são todas números naturais. 
c) duas são os números 𝑎 e 𝑏 
d) duas são números simétricos. 
 
8. (Ime 2016) Seja 𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏. Sabe-se que 𝑃(𝑥) 
e 𝑃(𝑃(𝑃(𝑥))) têm uma raiz em comum. Pode-se afirmar 
que para todo valor 𝑎 e 𝑏 
a) 𝑃(−1)𝑃(1) < 0 
b) 𝑃(−1)𝑃(1) = 0 
c) 𝑃(−1) + 𝑃(1) = 2 
d) 𝑃(0)𝑃(1) = 0 
e) 𝑃(0) + 𝑃(1) = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1: 01 + 04 + 16 = 21. 2: [D] 
 
3: 02 + 04 + 08 + 16 = 30. 4: 01 + 04 + 16 = 21. 
 
5: [D] 6: [B] 7: [B] 8: [D]