84. (UFRGS 2016) Se x + y = 13 e x.y = 1, então x2 + y2 é A) 166. B) 167. C) 168. D) 169. E) 170. COMENTÁRIO: Do enunciado: x + y = 13 e x.y = 1 (...

A alternativa correta é a letra B) 167. Para chegar a essa resposta, podemos utilizar a seguinte lógica: Sabemos que x + y = 13 e x.y = 1. Podemos utilizar a primeira equação para isolar uma das variáveis e substituir na segunda equação: x + y = 13 y = 13 - x x.y = 1 x.(13 - x) = 1 13x - x^2 = 1 x^2 - 13x + 1 = 0 Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos: x = (13 ± √(169 - 4))/2 x = (13 ± √165)/2 Como x e y são simétricos, podemos trocar x por y na equação acima e encontraremos os dois valores possíveis para x e y: x = (13 + √165)/2 e y = (13 - √165)/2 ou x = (13 - √165)/2 e y = (13 + √165)/2 Agora, podemos utilizar a fórmula x^2 + y^2 para encontrar a resposta: x^2 + y^2 = [(13 + √165)/2]^2 + [(13 - √165)/2]^2 x^2 + y^2 = [(169 + 26√165 + 165)/4] + [(169 - 26√165 + 165)/4] x^2 + y^2 = (2*169 + 2*165)/4 x^2 + y^2 = 334/2 x^2 + y^2 = 167 Portanto, a alternativa correta é a letra B) 167.