14. (Fuvest 2010) No plano cartesiano x0y, a reta de equação x + y = 2 é tangente à circunferência C no ponto (0,2). Além disso, o ponto (1,0) per...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o fato de que a reta x + y = 2 é tangente à circunferência C no ponto (0,2). Isso significa que a distância do centro da circunferência à reta é igual ao raio da circunferência. Podemos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (0,2) e (1,1) e verificar se ela é a mesma da reta x + y = 2. A equação da reta que passa pelos pontos é y = -x + 2. Podemos verificar que ela é a mesma da reta x + y = 2, substituindo x = 1 e y = 1 na equação. Agora, podemos encontrar a equação da circunferência que passa pelo ponto (1,0) e tem centro na reta y = -x + 2. A equação da circunferência é dada por (x - a)² + (y - b)² = r², onde (a,b) é o centro da circunferência e r é o raio. Como o ponto (1,0) pertence à circunferência, podemos substituir x = 1 e y = 0 na equação e obter (1 - a)² + b² = r². Além disso, sabemos que o centro da circunferência está na reta y = -x + 2. Podemos substituir y = -x + 2 na equação e obter (x - a)² + (-x + 2 - b)² = r². Agora, podemos resolver o sistema formado pelas duas equações e encontrar o valor de a, b e r. Substituindo os valores encontrados na equação (1 - a)² + b² = r², obtemos o valor do raio r. Resolvendo o sistema, encontramos a = 1/2, b = 3/2 e r = 5/2. Portanto, a alternativa correta é a letra b) 5/2.