(Fuvest 2010) Sejam x e y dois números reais, com 0 < ???? < π/2 e π/2 < ???? < π, satisfazendo ???????????? ???? = 4/5 e 11 ???????????????? + 5 ????????????(???? – ????) = ...

Começando pela equação dada: 11 sen(x) + 5 cos(y-x) = 3 a) Para encontrar o valor de sen(x), podemos isolar essa variável na equação: 11 sen(x) = 3 - 5 cos(y-x) sen(x) = (3 - 5 cos(y-x)) / 11 Agora, podemos usar a relação trigonométrica entre seno e cosseno para encontrar o valor de cos(x): cos²(x) + sen²(x) = 1 cos²(x) = 1 - sen²(x) cos(x) = √(1 - sen²(x)) Substituindo o valor de sen(x) encontrado anteriormente: cos(x) = √(1 - ((3 - 5 cos(y-x)) / 11)²) b) Para encontrar o valor de 2x, podemos usar a relação trigonométrica entre seno e cosseno novamente: sen²(x) = 1 - cos²(x) sen²(x) = 1 - (1 - sen²(x)) 2 sen²(x) = 1 sen(x) = ± √(1/2) Como 0 < x < π/2, temos que sen(x) é positivo, então: sen(x) = √(1/2) Agora, podemos usar a relação trigonométrica entre seno e cosseno para encontrar o valor de cos(x): cos²(x) = 1 - sen²(x) cos(x) = √(1 - 1/2) cos(x) = √(1/2) Portanto, temos que: 2x = 2arcsen(√(1/2)) = π/4 Resposta: a) sen(x) = (3 - 5 cos(y-x)) / 11 e cos(x) = √(1 - ((3 - 5 cos(y-x)) / 11)²) b) 2x = π/4