Questão 14. Nessa figura, os pontos B, C e D são colineares, B(2, 3) e a área do triângulo OCD é o dobro da área do paralelogramo OABC. Deter...

Para determinar as coordenadas do ponto C, podemos utilizar a fórmula da área do paralelogramo, que é dada por: A = base x altura Sabemos que a área do paralelogramo OABC é igual a metade da área do triângulo OCD, então podemos escrever: A(OABC) = 1/2 x A(OCD) Substituindo as fórmulas das áreas pelos seus valores, temos: base(OABC) x altura(OABC) = 1/2 x base(OCD) x altura(OCD) Como os pontos B, C e D são colineares, a base do paralelogramo OABC é igual à base do triângulo OCD, ou seja: base(OABC) = base(OCD) Além disso, a altura do paralelogramo OABC é igual à distância entre as retas que contêm os lados BC e OA, que são paralelas. Essa distância é igual à distância entre os pontos B e a reta OA, que é dada por: d(OA, B) = |ax + by + c| / sqrt(a^2 + b^2) Onde a, b e c são os coeficientes da equação da reta OA, que é y = -3/2 x + 9/2. Substituindo os valores, temos: d(OA, B) = |2a - 3b + 9| / sqrt(13/4) Igualando as duas expressões para a área, temos: base(OCD) x altura(OCD) = 2 x base(OABC) x altura(OABC) base(OCD) x d(OCD, B) = 2 x base(OCD) x d(OA, B) d(OCD, B) = 2 x d(OA, B) Substituindo as fórmulas pelas coordenadas dos pontos, temos: base(OCD) x |3a - 2b + c| / sqrt(13/4) = 4 x base(OCD) x |2a - 3b + 9| / sqrt(13/4) Simplificando, temos: |3a - 2b + c| = 8 x |2a - 3b + 9| Como os pontos B, C e D são colineares, podemos escrever a equação da reta que passa por eles na forma geral: ax + by + c = 0 Substituindo as coordenadas do ponto B, temos: 2a + 3b = c Substituindo essa equação na equação anterior, temos: |3a - 2b + 2a + 3b| = 8 x |2a - 3b + 9| Simplificando, temos: |5a + b| = 8 x |2a - 3b + 9| Como não sabemos se a e b são positivos ou negativos, precisamos considerar as duas possibilidades: 1) Se 5a + b > 0, então temos: 5a + b = 8 x (2a - 3b + 9) Simplificando, temos: a = 5/2 e b = -1/2 Substituindo esses valores na equação da reta, temos: 5x - y + 13 = 0 2) Se 5a + b < 0, então temos: 5a + b = -8 x (2a - 3b + 9) Simplificando, temos: a = -7/2 e b = 3/2 Substituindo esses valores na equação da reta, temos: -35x + 3y + 49 = 0 Portanto, as coordenadas do ponto C são (3, 4) ou (-7, -14).