Modulo 1 Exemplos

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Exemplo
Vamos analisar um exemplo para compreender melhor.
Um polinômio 𝑇, de grau 5, nas variáveis 𝑥 e 𝑦, é formado por todos os possíveis monômios de coeficientes iguais a 1. Descreva 𝑇, explicitando todos seus possíveis monômios.
Solução
Ora, se o grau de 𝑇 vale 5, seus monômios têm no máximo grau 5, ou seja: seus monômios são da forma 1. 𝑥𝑖𝑦𝑗 em que 𝑖 e 𝑗 variam entre 0 e 5 e 𝑖+𝑗 vale, no máximo, 5. A tabela mostra os 21 possíveis monômios:
Exemplo
Vamos ver alguns exemplos para fixarmos o conteúdo estudado.
Calcule os parâmetros reais 𝑎,𝑏,𝑐 e 𝑑 sabendo que os polinômios 𝑃(𝑥)=𝑎𝑥2−3𝑥+𝑐 e 𝑄(𝑥)=𝑏𝑥3− 3𝑥2+𝑐𝑥+𝑑 são iguais.
Solução
Podemos escrever:
𝑃(𝑥)=0𝑥3+𝑎𝑥2−3𝑥+𝑒𝑄(𝑥)=𝑏𝑥3−3𝑥2+𝑐𝑥+𝑑
Devemos ter:
{0=𝑏
𝑎=−3
−3=𝑐
𝑒=𝑑
Logo:
𝑎=𝑐=𝑑=−3 𝑒 𝑏=0
Exemplo
Exemplo
Agora, mostre que as expressões 𝑥3−1 e (𝑥−1)(𝑥2+𝑥+1) representam polinômios iguais.
Solução
Note que, embora não tenhamos definido formalmente nem soma, nem produto de polinômios, intuitivamente, como expressões algébricas, o uso das propriedades da comutatividade e associatividade da adição e da multiplicação, bem como a propriedade da distributividade da multiplicação com relação à adição, permitem analisar a questão. Veja:
Se 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 representam números quaisquer (reais ou complexos), valem as seguintes propriedades:
Exemplo
Dados os polinômios 𝑃1=2𝑥2+𝑥+1,𝑃2=−𝑥3+4𝑥−5 e 𝑃3=3𝑥4−𝑥2−2𝑥, calcule:
Se 𝑃1=𝑥2+𝑥+1 e 𝑃2=−𝑥2+𝑥−5 calcule 𝑃3=3𝑃1−2𝑃2
Expressões como 𝑃3 são chamadas de combinações lineares dos objetos 𝑃1 e 𝑃2, ou seja, são uma soma dos objetos 𝑃1 e 𝑃2 pré-multiplicados por escalares.
Solução
Analise a seguinte equação:
Exemplo
Os polinômios 𝑃1=𝑖𝑥2+(1+𝑖)𝑥+1 e 𝑃2=𝑥2+𝑥−(1+𝑖) são polinômios no campo dos complexos. Calcule 𝑃3=𝑃1−𝑖𝑃2.
Solução
Analise a seguinte equação:
Mão na massa
Questão 1
Dados dois polinômios, de graus 𝑚 e 𝑛, podemos afirmar que o grau do polinômio soma
Questão 2
O grau do polinômio (1−2𝑥)(1−𝑥)𝑥(1+𝑥)(1+2𝑥) é igual a
Questão 3
Sobre o grau do polinômio produto de dois polinômios dados, de graus 𝑚 e 𝑛, respectivamente, podemos afirmar que
Questão 1
Dado o polinômio 𝑃=𝑥3−𝑥2+𝑥−1, calcule seu valor numérico para:
Questão 2
Se 𝑃1=(1+𝑥+𝑥2) e 𝑃2=(1−𝑥+𝑥2), determine o termo em 𝑥2 do desenvolvimento de 
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