Questão 4. Considere a transformação linear T : R2 → R3 sabendo que: T (1, 1) = (1,−2, 0) e T (3, 4) = (0, 1, 2). a) Determine a lei de formac...

a) Para determinar a lei de formação da transformação linear T(x,y), podemos utilizar a fórmula geral para transformações lineares: T(x,y) = a1 * (1,0) + a2 * (0,1) Onde a1 e a2 são constantes a serem determinadas. Sabemos que T(1,1) = (1,-2,0) e T(3,4) = (0,1,2). Substituindo na fórmula, temos: a1 * (1,0) + a2 * (0,1) = (1,-2,0) a1 * (3,0) + a2 * (4,1) = (0,1,2) Resolvendo o sistema linear, encontramos a1 = -2 e a2 = 3. Portanto, a lei de formação da transformação linear T(x,y) é: T(x,y) = -2 * (1,0) + 3 * (0,1) = (-2x, 3y) b) Para determinar uma base da imagem de T, podemos encontrar as coordenadas dos vetores da base canônica de R2 que são transformados por T. Temos: T(1,0) = (-2,0,0) T(0,1) = (0,3,0) Portanto, uma base da imagem de T é {(−2,0,0),(0,3,0)}. A dimensão da imagem de T é 2. c) Para determinar se T é injetiva, podemos verificar se o núcleo de T é trivial. O núcleo de T é o conjunto de vetores de R2 que são mapeados em (0,0,0) por T. Temos: T(x,y) = (0,0,0) ⇔ (-2x, 3y) = (0,0,0) ⇔ x = y = 0 Portanto, o núcleo de T é trivial e T é injetiva. Podemos confirmar que a dimensão do domínio de T (que é 2) é igual à soma da dimensão do núcleo de T (que é 0) com a dimensão da imagem de T (que é 2), como previsto pelo Teorema da Dimensão.