Lista de exercicio Algebra Linear

Prévia do material em texto

Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
6ª Lista de Exerćıcios de GAAL
Sistemas Lineares
Questão 1. Determine os valores de k de modo que o sistema abaixo (e obtenha as soluções) x+ y + kz = 23x+ 4y + 2z = k2x++3y − z = 1
tenha:
a) Solução única
b) Infinitas soluções
c) Nenhuma solução.
Questão 2. Determine todos os posśıveis valores de n tais que o sistema x+ y = 1ny + z = 1
x+ nz = 1
não tenha solução.
Questão 3. Chamamos de sistema homogêneo de n equações e m incógnitas aquele sistema cujos
termos independentes, bi, são todos nulos.
a) Existe algum sistema homogêneo que não tenha solução ? Justifique
b) Encontre os valores de k ∈ R, tais que o sistema homogêneo 2x− 5y + 2z = 0x+ y + z = 02x+ kz = 0
tenha solução distinta da solução trivial.
Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
6ª Lista de Exerćıcios de GAAL
Sistemas Lineares
Questão 4. Foram estudados três tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1g) determinou-
se que:
i) O alimento I tem uma unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de
vitamina C.
ii) O alimento II tem 2, 3 e 5 unidades respectivamente, das vitaminas A, B e C.
iii) O alimento III tem 3 unidades de vitamina A, 3 unidades de vitamina C e não contém vitamina
B.
Se são necessárias 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vitamina C,
a) Encontre todas as posśıveis quantidades dos alimentos I, II e III, que fornecesm a quantidade
de vitaminas desejada.
b) Se o alimento I custa R$ 0,60 por grama e os outros dois custam R$ 0,10, existe uma solução
custando exatamente R$ 1,00 ?
Questão 5. Dado o sistema linear 3x+ 5y + 12z − w = −3x+ y + 4z − w = −62y + 2z + w = 5
a) Discuta a solução do sistema
b) Acrescente a equação 2x + kw = 9 a este sistema e obtenha um valor de k que o torne
imcompat́ıvel.
Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
6ª Lista de Exerćıcios de GAAL
Sistemas Lineares
Respostas
1. a) k ̸= 3 b) k = 3 c) Não existe k que torne o sistema insolúvel
2. n = 1
3. Nâo, pois todo sistema homogêneo admite a solução nula. b) k = 2
4. S =
{
(−5 + 3t, 8− 3t, t); 5
3
≤ t ≤ 8
3
}
b) Sim, basta tomar t = 2, observe que ele está
dentro do intervalo de existência 5
3
≤ t ≤ 8
3
5. a) S =
{(
13
2
,
15
2
− t,−5 + t
2
, t
)
; t ∈ R
}
b) k = 0
Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
7ª Lista de Exerćıcios de GAAL
Matrizes
Questão 1. Se a matriz
A =
 4 + a a21 a31a b+ 2 a32
b c 2c− 8

é uma matriz anti-simétrica, calcule o valor do produto a12 · a13 · a23
Questão 2. Se para cada x real define uma matriz T (x) dada por
T (x) =
(
cosx − sinx
sinx cosx
)
a) Prove que T (α) · T (β) = T (α + β)
b) O traço de uma matriz é definido como sendo a soma dos elementos da diagonal principal e
denotado por tr A. Calcule o trT
(
5π
12
)
Questão 3. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, terrâneo e
colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pala matriz:
a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente,
quantas unidades de cada material são empregadas?
b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, res-
pectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 u.c.p.. Qual ´e o preço unitário de cada tipo de casa?
c) Qual é o custo total do material empregado?
Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
7ª Lista de Exerćıcios de GAAL
Matrizes
Questão 4. Prove se for verdadeiro e apresente um contra exemplo se for falso.
a) Se A e B são matrizes tais que AB = 0, então A = 0 ou B = 0
b) Se AB = 0, então BA = 0
c) Se A é uma matriz tal que A2 = 0, então A = 0.
Questão 5. Dizemos que uma matriz A, n × n, é simétrica se At = A e é anti-simétrica se
At = −A.
a) Mostre que se A é simétrica então aij = aji para i, j = 1, 2, · · ·n
b) Mostre que se A é anti-simétrica então todos os elementos da diagonal principal de A são nulos.
Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
7ª Lista de Exerćıcios de GAAL
Matrizes
Respostas
1. 32
2. trT
(
5π
12
)
=
√
6−
√
2
3.
[
146 526 260 158 388
]
b)
[
492 528 465
]
c)
[
492 528 465
]  57
12
 = 11.736
Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
8ª Lista de Exerćıcios de GAAL
Matriz Inversa
Questão 1. Seja A uma matriz 3x3. Suponha que
X =
 1−2
3

é solução do sistema homogêneo AX = 0. A matriz A é singular? Justifique.
Questão 2. Determine, se posśıvel, a inversa das matrizes abaixo
a) A =
 1 2 31 1 2
0 1 1

b) B =

1 1 1 1
1 2 −1 2
1 −1 2 1
1 3 3 2

Questão 3. Seja P3×3 uma matriz de terceira ordem dada por
P =
 √2 −1 1√2 1 −1
0
√
2
√
2

Se X é uma matriz 3× 3 que satisfaz a equação
(P +X)2 = P 2 + 2PX +X2
Determine X
Questão 4. Resolva cada sistema abaixo.
a)
 x+ 2y + 3z = 0x+ y + 2z = 0
y + z = 0
b)

x+ y + z + w = 9
x+ 2y − z + 2w = 18
x− y + 2z + w = 27
x+ 3y + 3z + 2w = −9
Questão 5. Encontre matrizes elementares E1, E2, · · ·Ek tais que A = E1 · E2 · · ·Ek,
para A =
 1 2 32 1 2
0 1 2

Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
8ª Lista de Exerćıcios de GAAL
Matriz Inversa
Respostas
1. A matriz A é singular, pois como X é uma solução não trivial do sistema então AX = 0 tem
infinitas soluções. Nestas condições A não será linha equivalente a matriz identidade. Logo
A não admite inversa e portanto é singular.
2. a) A não possui inversa. b) B−1 =

7/3 −1/31 −1/3 −2/3
4/9 −1/9 −4/9 1/9
−1/9 −2/9 1/9 2/9
−5/3 2/3 2/3 1/3

3.
4. a) X = {(−t,−t, t); t ∈ R} b) X = {(−36,−3, 12, 36)}
5.
Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
9ª Lista de Exerćıcios de GAAL
Determinante
Questão 1. Calcule o determinante da matriz
a) A =

1 −2 3 1
5 −9 6 3
−1 2 −6 −2
2 8 6 1
 b) B =

0 1 1 1
1/2 1/2 1 1/2
2/3 1/3 1/3 0
−1/3 2/3 0 0

Questão 2. Se B é uma matriz obtida de uma outra matriz invert́ıvel A por meio da seguinte
sequência de operações elementares
. L1 ↔ L4
. L3 → −2L3
. L2 → L2 − aL5
. L7 → L7 + bL8
. L8 → kL9
e sabendo que detB = p2 e detA =
p
k
, calcule o valor de p
Questão 3. Seja A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 4. Obtenha
a solução da equação
det(2AAt) = 4x
Questão 4. Para um escalar λ ∈ R considere o sistema{
−3x+ 4y = λx
−x+ 2y = λy
a) Defina o que é um sistema homogêneo
b) Mostre que o sistema acima é homogêneo
c) Determine os valores de λ para que o sistema homogêneo acima possua solução não trivial
d) Determine a solução não trivial, referente ao sistema acima, para cada λ obtido no item c.
Questão 5. Considere as matrizes 3 × 3 cujas entradas são inteiros entre 0 e 9 (inclusive).
Determine o maior determinante posśıvel de uma tal matriz.
Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
9ª Lista de Exerćıcios de GAAL
Determinante
Respostas
1. a) 39 b) −1
6
2. 2
3. 32
4. c) 1 ou −2 d) Para λ = 1 temos S = {(t, t); t ∈ R}. Para λ = −2 temos S = {(t, 4t); t ∈ R}
5. 1.458
Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
10ª Lista de Exerćıcios de GAAL
Espaços Vetoriais
Questão 1. O conjunto V = {(x, y)/x, y ∈ R, x > 0 e y > 0} é um espaço vetorial com as
operações adição e multiplicação por escalar definidas assim:
(i) (x1, y1)
⊕
(x2, y2) = (x1 · x2, y1 · y2)
(ii) k
⊙
(x, y) = (xk, yk) onde k ∈ R.
a) Defina o que é o vetor simétrico de um dado vetor −→v em um espaço qualquer.
b) Determine o vetor nulo do espaço V
c) Suponha que −→u = (a, b) ∈ V . Determine o vetor simétrico de −→u em relação as operações (i) e
(ii).
Questão 2. Sejam W1 e W2 planos, subespaços vetoriais do espaço R3 com operações usuais.
Sabendo que o vetor normal de W1 é
−→
N 1 = (1,−7, 5) e o de W2 é
−→
N 2 = (3,−1, 1), determine uma
base para a reta interseção dos planos W1 ∩W2.
Questão3. Seja A = {u, v}, sendo u = (−1, 3,−1) e v = (1,−2, 4).
a) Determine o subespaço gerado por A
b) Calcule o valor de k para que o vetor −→w = (5, k, 11) pertença ao subespaço obtido no ı́tem (a).
Questão 4.
a) Para quais valores de λ o conjunto {(3, 1, 0), (λ2 + 2, 2, 0)} é linearmente dependente (LD)?
b) Sabendo que o conjunto {U, V,W} é linearmente independente (LI) de um espaço vetorial V,
prove que o conjunto {U,U +W,U + V +W} é linearmente independente (LI).
Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
10ª Lista de Exerćıcios de GAAL
Espaços Vetoriais
Questão 5.
Definição 1. Se A é uma matriz m × n, dizemos que o subespaço de Rn gerado pelos vetores
linha de A é chamado espaço-linha de A e o subespaço de Rn gerado pelos vetores colunas de
A é chamado espaço-coluna de A. O espaço-solução do sistema homogêneo AX = 0, é chamado
espaço-nulo de A.
a) Mostre que o espaço nulo de uma matriz Am×n qualquer é um subespaço de Rn
b) Determine uma base e a dimensão para o espaço nulo da matriz
A =
 1 4 5 22 1 3 0
−1 3 2 2

Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
11ª Lista de Exerćıcios de GAAL
Transformações Lineares - Parte 1
Questão 1.
a) Seja T : V → W uma transformação linear. Prove que T (0) = 0
b) Determine a transformação linear T : R3 → R2 tal que T (1, 0, 0) = (2, 0), T (0, 1, 0) = (1, 1) e
T (0, 0, 1) = (0,−1).
c) Obtenha o vetor v ∈ R3 tal que T (v) = (3, 2).
Questão 2.
a) Qual é a transformação linear T : R3 → R2 tal que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0)?
b) Escreva a matriz canônica de T
c) Obtenha a transformação linear S : R3 → R2 tal que S(3, 2, 1) = (1, 1), S(0, 1, 0) = (0,−2) e
S(0, 0, 1) = (0, 0)
d) Determine a transformação linear P : R2 → R2 tal que P = SoT.
Questão 3.
a) Encontre a transformação linear T do plano no plano que é uma reflexão em torno da reta
y = x.
b) Escreva-a na forma matricial
Questão 4. Determine a transformação linear obtida pela rotação anti- horária no plano de
π
4
seguida de uma dilatação de
√
2
Questão 5. Qual é a aplicação linear que representa uma contração de
1√
2
seguida por uma
rotação antihorária de
π
3
Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
12ª Lista de Exerćıcios de GAAL
Transformações Lineares - Parte 2
Questão 1. Considere a transformação linear T : P2(R) → P2(R) definida por
T (ax2 + bx+ c) = cx2 + (a− b)x− c.
a) Determine o KerT , sua base e dimensão.
b) Determine o ImT , sua base e dimensão.
c) T é um isomorfismo? Justifique sua resposta.
Questão 2. Seja T : R2 → R2 tal que [T ] =
(
−1 −2
0 1
)
. Obtenha os vetores u e v tais que:
a) T (u) = u
b) T (v) = v
Questão 3. Considere a transformação linear T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (z, x− y,−z).
a) Determine uma base do núcleo de T
b) Qual é a dimensão da imagem de T?
c) T é sobrejetora? Justifique.
d) Descreva geometricamente o núcleo e a imagem de T.
Questão 4. Considere a transformação linear T : R2 → R3 sabendo que:
T (1, 1) = (1,−2, 0) e T (3, 4) = (0, 1, 2).
a) Determine a lei de formação da transformação linear T(x,y)
b) Determine uma base e a dimensão da imagem de T?
c) Use o Teorema da dimensão para determinar se T é injetiva.
Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
12ª Lista de Exerćıcios de GAAL
Transformações Lineares - Parte 2
Questão 5. Sejam {v1, v2, ..., vn} vetores em um espaço vetorial V e seja T : V → W uma
transformação linear.
a) {T (v1), T (v2), ..., T (vn)} é linearmente independente em W , prove que {v1, v2, ..., vn} é linear-
mente independente em V
b) Prove que a rećıproca do ı́tem (a) é falsa. Isto é se {v1, v2, ..., vn} é linearmente independente em
V não necessariamente {T (v1), T (v2), ..., T (vn)} é linearmente independente em W . Ilustre
essa afirmação com um exemplo de uma transformação T : R2 → R2.
c) T é um isomorfismo? Justifique sua resposta.
Questão 6. Seja T : V → V um operador linear
a) Mostre que kerT = {0}, se, e somente se, T é injetora.
b) Se λ = 0 é autovalor de T , mostre que T não é injetora
c) O operador derivação D : P3(R) → P3(R) é injetivo? JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA.
Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
13ª Lista de Exerćıcios de GAAL
Composição de Transformações Lineares
Questão 1. Seja T o operador linear sobre R3 dado por T (x, y, z) = (3x, x + y, 2x + y + z).
Verifique se T é invert́ıvel e, em caso afirmativo, determine T−1.
Questão 2. Sejam R : R3 → R3 e S : R3 → R3 as transformações lineares dadas por
R(x, y) = (2x, x+ y, y) e S(x, y, z) = (y − z, z + x).
Obtenha [RoS] e [SoR].
Questão 3. Sejam R : R2 → R2 e S : R3 → R2 as transformações lineares tais que
[T ] =
(
1 2
−1 3
)
. e [S] =
(
1 0 −1
2 1 1
)
.
Sabemos que RoS : R3 → R2. Obtenha RoS(x, y, z).
Questão 4. Se R(x, y) = (2x, x− y, y) e S(x, y, z) = (y − z, z − x).
a) Determine [RoS]
b) Determine [SoR]
c) Obtenha uma base a a dimensão para o núcleo de [RoS] e [SoR].
d) Obtenha uma base a a dimensão para o imagem de [RoS] e [SoR].
e) Verifique se [RoS] e [SoR] são isomorfismo. Em caso afirmativo obtenha a transformação
inversa em cada caso.
Questão 05. Sejam α = {(0, 2), (2,−1)} e β = {(1, 1, 0), (0, 0,−1), (1, 0, 1)} bases de R2 e R3
respectivamente. Considere a matriz
[T ]αβ =
 2 04 0
0 −4
 .
a) Dê a expressão para T (x, y)
b) Determine uma base e a dimensão para kerT e ImT
Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
14ª Lista de Exerćıcios de GAAL
Diagonalização
Questão 1.
a) Determine a transformação linear T : R2 → R2, tal que T tenha autovalores −2 e 3 associados
aos autovetores (3, 1) e (−2, 1) respectivamente.
b) Determine o núcleo e a imagem de T
c) Prove que T é diagonalizável.
d) T é um isomorfismo? Em caso de afirmativo obtenha o operador inverso
Questão 2. Seja A3×3 uma matriz com entradas reais tal que AV = 4V , AU = −U e AW = 2W,
onde
V =
 12
1
 , U =
 11
−1
 e W =
 34
−2
 .
Determine a matriz A.
Questão 3. Considere o operador linear T : R3 → R3 definido por
T (x, y, z) = (4x+ z, 2x+ 3y + 2z, x+ 4z).
Seja A = [T ] a matriz canônica de T.
a) Determine A
b) Obtenha os autovalores de A
c) Determine uma base e a dimensão do autoespaço correspondente a cada autovalor obtido no
item b.
d) A é diagonalizável ? Justifique sua resposta
Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
14ª Lista de Exerćıcios de GAAL
Diagonalização
Questão 4. Dada a matriz
V =
 0 7 −6−1 4 0
0 2 −2

Calcule o valor de A2021
Questão 5. Dizemos que um operador linear T : V → V é idempotente se T 2 = T , isto é, quando
ToT (v) = v para todo v ∈ V.
a) Obtenha os autovalores de um operador idempotente para um espaço V qualuer.
b) Encontre uma matriz A = [T ], de um operador T : R4 → R4, com T idempotente, não nulo e
A ̸= I.
c) Prove que todo operador idempotente é diagonalizável.