(IME-90) Os lados de um triângulo estão em progressão aritmética e o lado intermediário mede l. Sabendo que o maior ângulo excede o menor em 90º, c...

Seja a, l e b os lados do triângulo em progressão aritmética, onde l é o lado intermediário. Sabemos que o maior ângulo excede o menor em 90º, ou seja, o maior ângulo é igual a 90º + o ângulo formado pelos lados a e l, e o menor ângulo é igual ao ângulo formado pelos lados l e b. Pela lei dos cossenos, temos: a² = l² + b² - 2lb cos(90º + A) a² = l² + b² - 2lb sen(A) l² = a² + b² - 2ab cos(A) Substituindo o valor de cos(A) por sen(90º + A), temos: l² = a² + b² - 2ab sen(90º + A) l² = a² + b² + 2ab cos(A) Como os lados estão em progressão aritmética, temos: l = (a + b)/2 Substituindo na equação anterior, temos: (a + b)²/4 = a² + b² + 2ab cos(A) a² + 2ab + b² = 4a² + 4b² + 8ab cos(A) 3a² + 6ab + 3b² = 8a² + 8b² + 8ab cos(A) 8ab cos(A) = 5a² + 2ab - 5b² Como o maior ângulo excede o menor em 90º, temos: 90º + A = 180º - (lado intermediário) A = 90º - (lado intermediário)/2 Substituindo na equação anterior, temos: 8ab cos(90º - l/2) = 5a² + 2ab - 5b² Como cos(90º - x) = sen(x), temos: 8ab sen(l/2) = 5a² + 2ab - 5b² Como os lados estão em progressão aritmética, podemos escrever: a = l - r b = l + r Substituindo na equação anterior, temos: 8(l-r)(l+r)sen(l/2) = 5(l-r)² + 2(l-r)(l+r) - 5(l+r)² Simplificando, temos: 8r(l-r)sen(l/2) = -2l² Dividindo por l², temos: 8r(l-r)sen(l/2)/l² = -2 Simplificando, temos: 4r(l-r)sen(l/2)/l² = -1 Como os lados são positivos, temos: r(l-r)sen(l/2)/l² < 0 Como l é o lado intermediário, temos: r > 0 (l-r)sen(l/2) < 0 Como sen(l/2) é positivo para 0 < l < 180º, temos: l < 2r Portanto, a razão entre os lados é: r/l = 1/3