Prove que para todo inteiro n, o número 11n+2 + 122n+1 é divisível por 133.

Para provar que 11n+2 + 122n+1 é divisível por 133, podemos usar a indução matemática. Base: Para n = 1, temos 11(1) + 2 + 122(1) + 1 = 135, que é divisível por 133. Hipótese: Suponha que para um inteiro k qualquer, 11k+2 + 122k+1 é divisível por 133. Passo Indutivo: Vamos provar que a afirmação é verdadeira para k+1. Temos: 11(k+1)+2 + 122(k+1)+1 = 11k+13 + 122k+123 = 11k+2 + 11(11) + 122k+1 + 122(122) = (11k+2 + 122k+1) + 11(11) + 122(122) Pela hipótese, sabemos que 11k+2 + 122k+1 é divisível por 133. Além disso, 11(11) + 122(122) = 15155 é divisível por 133. Portanto, a soma também é divisível por 133. Assim, concluímos que para todo inteiro n, o número 11n+2 + 122n+1 é divisível por 133.