Seja � um número real positivo e considere as funções afins ( ) = � + 3� e ( ) = 9− 2 , definidas para todo número real . Encontre o número de solu...

Para encontrar o número de soluções inteiras da inequação ( ) ( ) > 0, precisamos analisar os sinais das funções afins ( ) = � + 3� e ( ) = 9− 2 em cada um dos intervalos determinados pelas raízes da equação ( ) = 0. Para a função ( ) = � + 3�, temos: ( ) = � + 3� = 0 � = -3� Portanto, a raiz da equação é � = -3. Assim, temos dois intervalos a considerar: (-∞, -3) e (-3, +∞). Analisando o sinal da função ( ) = � + 3� em cada um desses intervalos, temos: - Para � < -3, temos ( ) < 0, pois o coeficiente de � é negativo. - Para � > -3, temos ( ) > 0, pois o coeficiente de � é positivo. Para a função ( ) = 9− 2, temos: ( ) = 9− 2 = 0 � = 4,5 Portanto, temos apenas um intervalo a considerar: (-∞, 4,5). Analisando o sinal da função ( ) = 9− 2 em cada um desses intervalos, temos: - Para � < 4,5, temos ( ) < 0, pois o coeficiente de � é negativo. - Para � > 4,5, temos ( ) > 0, pois o coeficiente de � é positivo. Assim, para que a inequação ( ) ( ) > 0 seja satisfeita, precisamos que as duas funções tenham o mesmo sinal. Isso ocorre nos intervalos (-∞, -3) e (4,5, +∞). Portanto, o número de soluções inteiras da inequação é dado pela soma das soluções nos intervalos (-∞, -3) e (4,5, +∞), ou seja, infinitas soluções.