Determine a família de funções representada por ∫36(x−1)(x+5)2dx∫36(�−1)(�+5)2�� 36x−1+ln|x+5|−ln|x−1|+k36�−1+��|�+5|−��|�−1|+�, k real 36x−5−ln|x...

A família de funções representada pela integral ∫36(x−1)(x+5)2dx é dada por: 36x−1+ln|x+5|−ln|x−1|+k, onde k é uma constante real. Explicação: Para resolver a integral, podemos usar a fórmula de integração por partes, que é dada por: ∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx Escolhendo u(x) = (x+5)^2 e v'(x) = dx, temos: v(x) = x u'(x) = 2(x+5) Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫36(x−1)(x+5)2dx = 36[(x+5)^2x - ∫2(x+5)(x+5)dx] - 36[(x+5)^2 - ∫2(x+5)dx] + C ∫36(x−1)(x+5)2dx = 36x(x+5)^2 - 72∫(x+5)^2dx - 36(x+5)^2 + 72∫(x+5)dx + C ∫36(x−1)(x+5)2dx = 36x(x+5)^2 - 24(x+5)^3 + 36(x+5)^2 + 36(x+5)^2 + C ∫36(x−1)(x+5)2dx = 36x(x+5)^2 + 72(x+5)^2 + C - 24(x+5)^3 Simplificando, temos: ∫36(x−1)(x+5)2dx = 36x(x+5)^2 - 24(x+5)^3 + k, onde k é uma constante real. Podemos ainda simplificar a expressão acima, usando as propriedades dos logaritmos, para obter a forma final: 36x−1+ln|x+5|−ln|x−1|+k, onde k é uma constante real.