Para resolver o limite \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^4 + y^2}\), vamos analisar o comportamento da função quando \(x\) e \(y\) se aproximam de zero. 1. Substituição de caminhos: Podemos testar diferentes caminhos para ver se o limite é o mesmo. - Caminho \(y = 0\): \[ \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 0}{x^4 + 0^2} = 0 \] - Caminho \(x = 0\): \[ \lim_{y \to 0} \frac{0 \cdot y}{0^4 + y^2} = 0 \] - Caminho \(y = kx\) (onde \(k\) é uma constante): \[ \lim_{x \to 0} \frac{x(kx)}{x^4 + (kx)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{kx^2}{x^4 + k^2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{kx^2}{x^2(x^2 + k^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{k}{x^2 + k^2} = 0 \] 2. Conclusão: Em todos os caminhos testados, o limite se aproxima de 0. Portanto, a resposta correta é 0.