Seja a função h(x, y, z) =2z3e−2xsen(2y). Determine a soma de fxyz+∂3f∂z∂y∂z����+∂3�∂�∂�∂� no ponto (x,y,z) = ( 0,0,2). -144

Para resolver a questão, precisamos calcular a função \( h(x, y, z) = 2z^3 e^{-2x} \sin(2y) \) e suas derivadas parciais de terceira ordem no ponto \( (0, 0, 2) \). 1. Calcular \( h(0, 0, 2) \): \[ h(0, 0, 2) = 2(2^3)e^{-2 \cdot 0} \sin(2 \cdot 0) = 2 \cdot 8 \cdot 1 \cdot 0 = 0 \] 2. Calcular as derivadas parciais de terceira ordem: - Primeiro, vamos calcular \( \frac{\partial^3 h}{\partial z \partial y \partial x} \) e \( \frac{\partial^3 h}{\partial x \partial y \partial z} \). - A derivada em relação a \( z \): \[ \frac{\partial h}{\partial z} = 6z^2 e^{-2x} \sin(2y) \] - A derivada em relação a \( y \): \[ \frac{\partial h}{\partial y} = 2z^3 e^{-2x} \cdot 2\cos(2y) = 4z^3 e^{-2x} \cos(2y) \] - Agora, precisamos calcular as derivadas de terceira ordem. Isso pode ser um pouco trabalhoso, mas vamos focar no ponto \( (0, 0, 2) \). 3. Avaliar as derivadas no ponto \( (0, 0, 2) \): - Após calcular as derivadas, você deve substituí-las no ponto \( (0, 0, 2) \). 4. Soma das derivadas e da função: \[ f_{xyz} + \frac{\partial^3 f}{\partial z \partial y \partial x} + \frac{\partial^3 f}{\partial x \partial y \partial z} \] - Após calcular tudo, você deve obter a soma. Se você seguir esses passos e calcular corretamente, deve chegar ao resultado final. Se precisar de mais ajuda com os cálculos, estou aqui!