Para resolver a questão, precisamos calcular a função \( h(x, y, z) = 2z^3 e^{-2x} \sin(2y) \) e suas derivadas parciais de terceira ordem no ponto \( (0, 0, 2) \). 1. Calcular \( h(0, 0, 2) \): \[ h(0, 0, 2) = 2(2^3)e^{-2 \cdot 0} \sin(2 \cdot 0) = 2 \cdot 8 \cdot 1 \cdot 0 = 0 \] 2. Calcular as derivadas parciais de terceira ordem: - A primeira derivada em relação a \( z \): \[ \frac{\partial h}{\partial z} = 6z^2 e^{-2x} \sin(2y) \] - A segunda derivada em relação a \( z \): \[ \frac{\partial^2 h}{\partial z^2} = 12z e^{-2x} \sin(2y) \] - A terceira derivada em relação a \( z \): \[ \frac{\partial^3 h}{\partial z^3} = 12 e^{-2x} \sin(2y) \] 3. Calcular \( \frac{\partial^3 h}{\partial z \partial y \partial z} \): - A derivada em relação a \( y \): \[ \frac{\partial h}{\partial y} = 2z^3 e^{-2x} \cdot 2 \cos(2y) = 4z^3 e^{-2x} \cos(2y) \] - A terceira derivada em relação a \( z \): \[ \frac{\partial^3 h}{\partial z \partial y \partial z} = 12 e^{-2x} \cos(2y) \] 4. Avaliar as derivadas no ponto \( (0, 0, 2) \): - \( h(0, 0, 2) = 0 \) - \( \frac{\partial^3 h}{\partial z^3}(0, 0, 2) = 12 e^{0} \sin(0) = 0 \) - \( \frac{\partial^3 h}{\partial z \partial y \partial z}(0, 0, 2) = 12 e^{0} \cos(0) = 12 \) 5. Soma: \[ f_{xyz} + \frac{\partial^3 f}{\partial z \partial y \partial z} + \frac{\partial^3 f}{\partial x \partial y \partial z} = 0 + 0 + 12 = 12 \] Parece que houve um erro na interpretação da questão, pois a soma não corresponde a nenhuma das opções dadas. Se precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar!