33. Uma circunferência está circunscrita a um triângulo cujos lados têm medida 20, 21 e 29. Dessa forma, a circunferência foi dividida em três regi...

Para resolver esse problema, podemos usar a lei dos cossenos para encontrar o raio da circunferência circunscrita ao triângulo e, em seguida, usar a fórmula da área do triângulo para encontrar a área total do triângulo. Depois disso, podemos usar a fórmula da área do triângulo para encontrar a área de cada uma das três regiões não triangulares. Usando a lei dos cossenos, temos: c² = a² + b² - 2ab cos(C) onde a, b e c são os lados do triângulo e C é o ângulo oposto ao lado c. Substituindo os valores, temos: 29² = 20² + 21² - 2(20)(21) cos(C) cos(C) = -\frac{399}{840} C = 2\pi - \arccos\left(-\frac{399}{840}\right) Agora, podemos usar a fórmula da área do triângulo para encontrar a área total do triângulo: A = \frac{1}{2}ab\sin(C) A = \frac{1}{2}(20)(21)\sin(C) A = 210\sin(C) Agora, podemos usar a fórmula da área do triângulo para encontrar a área de cada uma das três regiões não triangulares. Seja r o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, temos: T = \frac{1}{2}r^2(\pi - C) G = \frac{1}{2}r^2\left(\frac{C}{2}\right) A = \frac{1}{2}r^2\left(\frac{3\pi}{2} - \frac{3C}{2}\right) Substituindo os valores, temos: T = \frac{1}{2}(29)^2\left(\pi - 2\pi + \arccos\left(-\frac{399}{840}\right)\right) = \frac{841}{2}\arccos\left(-\frac{399}{840}\right) G = \frac{1}{2}(29)^2\left(\frac{1}{2}\arccos\left(-\frac{399}{840}\right)\right) = \frac{841}{4}\arccos\left(-\frac{399}{840}\right) A = \frac{1}{2}(29)^2\left(\frac{3\pi}{2} - \frac{3}{2}\arccos\left(-\frac{399}{840}\right)\right) = \frac{841}{4}\left(3\pi - 3\arccos\left(-\frac{399}{840}\right)\right) Agora, podemos verificar qual das alternativas está correta: A) T = G + A Substituindo os valores, temos: \frac{841}{2}\arccos\left(-\frac{399}{840}\right) \neq \frac{841}{4}\arccos\left(-\frac{399}{840}\right) + \frac{841}{4}\left(3\pi - 3\arccos\left(-\frac{399}{840}\right)\right) Portanto, a alternativa A está incorreta. B) T = G + A + 210 Substituindo os valores, temos: \frac{841}{2}\arccos\left(-\frac{399}{840}\right) = \frac{841}{4}\arccos\left(-\frac{399}{840}\right) + \frac{841}{4}\left(3\pi - 3\arccos\left(-\frac{399}{840}\right)\right) + 210 Portanto, a alternativa B está correta. C) T² = G² + A² Substituindo os valores, temos: \left(\frac{841}{2}\arccos\left(-\frac{399}{840}\right)\right)^2 \neq \left(\frac{841}{4}\arccos\left(-\frac{399}{840}\right)\right)^2 + \left(\frac{841}{4}\left(3\pi - 3\arccos\left(-\frac{399}{840}\right)\right)\right)^2 Portanto, a alternativa C está incorreta. D) 29T = 21G + 20A Substituindo os valores, temos: 29\left(\frac{841}{2}\arccos\left(-\frac{399}{840}\right)\right) = 21\left(\frac{841}{4}\arccos\left(-\frac{399}{840}\right)\right) + 20\left(\frac{841}{4}\left(3\pi - 3\arccos\left(-\frac{399}{840}\right)\right)\right) Portanto, a alternativa D está correta. E) 1/T² = 1/G² + 1/A² Substituindo os valores, temos: \frac{1}{\left(\frac{841}{2}\arccos\left(-\frac{399}{840}\right)\right)^2} \neq \frac{1}{\left(\frac{841}{4}\arccos\left(-\frac{399}{840}\right)\right)^2} + \frac{1}{\left(\frac{841}{4}\left(3\pi - 3\arccos\left(-\frac{399}{840}\right)\right)\right)^2} Portanto, a alternativa E está incorreta. Portanto, a alternativa correta é a B) T = G + A + 210.