Resolva os três itens abaixo: a) Considere o conjunto formado pelos números complexos que cumprem a condição Re Im . Cada elemento desse conjunto s...

a) O conjunto formado pelos números complexos que cumprem a condição Re(z) < Im(z) é a região do plano complexo abaixo da reta y = x. A transformação que leva um número complexo em seu conjugado é a reflexão em torno do eixo real. Portanto, o conjunto resultante após essa transformação é a região do plano complexo acima da reta y = x. b) Para que seja um número imaginário puro, a parte real de z deve ser igual a 0. Portanto, o lugar geométrico dos pontos do plano complexo que satisfazem essa condição é o eixo imaginário. c) Sejam A, B e C as representações no plano complexo de z, w e 1, respectivamente. Como o triângulo é equilátero, temos que AB = BC = AC. Portanto, |z - w| = |w - 1| e |z - 1| = |1 - w|. Elevando ambos os lados das equações ao quadrado, obtemos: |z - w|^2 = |w - 1|^2 (z - w)(\overline{z} - \overline{w}) = (w - 1)(\overline{w} - \overline{1}) z\overline{z} - z\overline{w} - \overline{z}w + w\overline{w} = w\overline{w} - \overline{w} - w + 1 z\overline{z} - z\overline{w} - \overline{z}w + w\overline{w} + w - 1 = 0 |z - 1|^2 = |1 - w|^2 (z - 1)(\overline{z} - \overline{1}) = (1 - w)(\overline{1} - \overline{w}) z\overline{z} - z - \overline{z} + 1 = \overline{w} - w + 1 z\overline{z} - z - \overline{z} + 1 - \overline{w} + w = 0 Somando as duas equações, obtemos: 2z\overline{z} - 2z - 2\overline{z} + 2w\overline{w} - 2\overline{w} + 2 = 0 Isolando z, temos: z = \frac{w + 1}{2} \pm i\sqrt{3}\left(\frac{w - 1}{2}\right) Portanto, as partes reais dos números complexos que satisfazem a condição do enunciado são \frac{w + 1}{2}.