Determine a área delimitada entre as curvas y= cossec2x,y=2+cotg2x e 1≤x≤2 π2u.a. πu.a. 1u.a. 2πu.a. 2u.a.

Para determinar a área delimitada entre as curvas y = cossec²x e y = 2 + cotg²x, é necessário encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas. Começando com y = cossec²x, podemos reescrevê-la como y = 1/sen²x. Em seguida, substituindo y em y = 2 + cotg²x, temos: 1/sen²x = 2 + cotg²x Reescrevendo cotg²x como cos²x/sen²x, temos: 1/sen²x = 2 + cos²x/sen²x Multiplicando ambos os lados por sen²x, temos: 1 = 2sen²x + cos²x Substituindo cos²x por 1 - sen²x, temos: 1 = 2sen²x + 1 - sen²x Simplificando, temos: sen²x = 1/2 Portanto, x = π/4 ou x = 3π/4. Agora, podemos calcular a área delimitada pela integral definida: A = ∫(2 + cotg²x - cossec²x)dx, de 1 a 2 Reescrevendo cotg²x como cos²x/sen²x e cossec²x como 1/sen²x, temos: A = ∫(2 + cos²x/sen²x - 1/sen²x)dx, de 1 a 2 A = ∫(2sen²x + cos²x)dx, de 1 a 2 A = ∫(2 - sen²x + 1 - sen²x)dx, de 1 a 2 A = ∫(3 - 2sen²x)dx, de 1 a 2 A = [3x - x/2 - (senx*cosx)/2] de 1 a 2 A = [(6 - 2π)/2 - (sen2*cos2)/2] - [(3 - π)/2 - (sen1*cos1)/2] A = (3 - π)/2 - (sen2*cos2 - sen1*cos1)/2 A = (3 - π)/2 - (sen2 - sen1)/2 A = (3 - π)/2 - (1/√2 - 1)/2 A = (5 - π - √2)/2 u.a. Portanto, a alternativa correta é a letra A) (5 - π - √2)/2 u.a.