O número de anagramas diferentes com as letras da palavra MILITAR que não possuem consoantes consecutivas que se pode obter é: a) 60 b) 72 c) 120 ...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Princípio da Adição e o Princípio da Multiplicação. Primeiro, vamos contar quantas maneiras podemos organizar as vogais da palavra MILITAR. Temos 2 "I", 1 "A" e 1 "I". Portanto, o número de maneiras de organizar as vogais é dado por: 4! / (2! * 1! * 1!) = 12 Agora, vamos organizar as consoantes. Temos 2 "L", 1 "M", 1 "T" e 1 "R". Para que não haja consoantes consecutivas, precisamos intercalar as consoantes com as vogais. Podemos fazer isso de duas maneiras: começando com uma vogal ou começando com uma consoante. Se começarmos com uma vogal, teremos a seguinte sequência: V-C-V-C-V-C, onde V representa uma vogal e C representa uma consoante. Temos 3 espaços para preencher com as consoantes. Como não podem haver consoantes consecutivas, a primeira posição pode ser preenchida com 4 consoantes (L, M, T ou R). A segunda posição pode ser preenchida com 3 consoantes (as 3 que não foram escolhidas na primeira posição). A terceira posição pode ser preenchida com 2 consoantes (as 2 que não foram escolhidas nas duas primeiras posições). Portanto, o número de maneiras de preencher os espaços com as consoantes é: 4 * 3 * 2 = 24 Se começarmos com uma consoante, teremos a seguinte sequência: C-V-C-V-C-V. O raciocínio é o mesmo do caso anterior, mas agora a primeira posição pode ser preenchida com 3 consoantes (M, T ou R), a segunda posição pode ser preenchida com 3 consoantes (as 3 que não foram escolhidas na primeira posição) e a terceira posição pode ser preenchida com 2 consoantes (as 2 que não foram escolhidas nas duas primeiras posições). Portanto, o número de maneiras de preencher os espaços com as consoantes é: 3 * 3 * 2 = 18 Como podemos começar com uma vogal ou com uma consoante, o número total de anagramas diferentes é dado por: 2 * 12 * 24 = 576 Portanto, a alternativa correta é a letra E) 224.