Sejam f e g definidas em ℝ e suponha que existe M > 0 tal que | f (x) - f (p) | ≤ M | g (x) - g(p) | para todo x. Prove que se g for contínua em p,...

Para provar que f é contínua em p, precisamos mostrar que para qualquer sequência {x_n} que converge para p, temos que a sequência {f(x_n)} converge para f(p). Suponha que g é contínua em p. Então, para qualquer ε > 0, existe δ > 0 tal que |g(x) - g(p)| < δ implica |f(x) - f(p)| < ε/M. Agora, considere uma sequência {x_n} que converge para p. Como g é contínua em p, temos que lim x_n = p implica lim g(x_n) = g(p). Dado ε > 0, podemos escolher δ > 0 como acima. Então, para n suficientemente grande, temos que |x_n - p| < δ, o que implica |g(x_n) - g(p)| < δ. Portanto, temos que |f(x_n) - f(p)| < ε/M. Como ε/M é uma constante fixa, podemos escolher N suficientemente grande para que n ≥ N implica |f(x_n) - f(p)| < ε/M. Portanto, temos que lim f(x_n) = f(p), o que mostra que f é contínua em p.