Prove que, se para todo ∊ > 0 dado existir um intervalo aberto I = ]a, b[, com p ∈ I, tal que para todo x ∈ Df x ∈ I ⇒ f (p) − ∊ < f (x) < f (p) + ...

Para provar que f é contínua em p, precisamos mostrar que para todo ε > 0 dado, existe um δ > 0 tal que se |x - p| < δ, então |f(x) - f(p)| < ε. Dado ε > 0, escolha um intervalo aberto I = ]a, b[ com p ∈ I tal que para todo x ∈ Df x ∈ I ⇒ f(p) - ε < f(x) < f(p) + ε. Defina δ = min{p - a, b - p}. Observe que δ > 0, pois p não é um ponto de acumulação de Df. Agora, suponha que |x - p| < δ. Então, x ∈ ]p - δ, p + δ[ ⊆ I. Portanto, temos que f(p) - ε < f(x) < f(p) + ε. Assim, |f(x) - f(p)| < ε, o que mostra que f é contínua em p.