Os teoremas do anulamento (ou de Bolzano), do valor intermediário e de Weierstrass são fundamentais para o desenvolvimento do curso. Neste capítulo...

Os teoremas do anulamento (ou de Bolzano), do valor intermediário e de Weierstrass são fundamentais para o desenvolvimento do curso. Neste capítulo, apresentaremos seus enunciados e faremos algumas aplicações; as demonstrações são deixadas para o Apêndice 2. Teorema (do anulamento ou de Bolzano). Se f for contínua no intervalo fechado [a, b] e se f (a) e f (b) tiverem sinais contrários, então existirá pelo menos um c em [a, b] tal que f (c) = 0. EXEMPLO 1. Mostre que a equação x3 − 4x + 8 = 0 admite pelo menos uma raiz real. Solução Consideremos a função f (x) = x3 − 4x + 8; temos f(0) = 8, f(−3) = −7 e f é contínua em [−3, 0] (os números 0 e −3 foram determinados por inspeção), segue do teorema do anulamento que existe pelo menos um c em [−3, 0] tal que f(c) = 0, isto é, a equação x3 − 4x + 8 = 0 admite pelo menos uma raiz real entre −3 e 0. ■ Teorema (do valor intermediário). Se f for contínua em [a, b] e se γ for um real compreendido entre f (a) e f (b), então existirá pelo menos um c em [a, b] tal que f (c) = γ. Observe que o teorema do anulamento é um caso particular do teorema do valor intermediário. Teorema (de Weierstrass). Se f for contínua em [a, b], então existirão x1 e x2 em [a, b] tais que f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2) para todo x em [a, b]. O teorema de Weierstrass nos conta que, se f for contínua em [a, b], então existirão x1 e x2 em [a, b] tais que f (x1) é o valor mínimo de f em [a, b] e f (x2) o valor máximo de f em [a, b]. Ou de outra forma: se f for contínua em [a, b], então f assumirá em [a, b] valor máximo e valor mínimo. Chamamos sua atenção para o fato de a hipótese de f ser contínua no intervalo fechado [a, b] ser indispensável; por exemplo, x ∈ ]0, 1], é contínua em ]0, 1] mas não assume, neste intervalo, valor máximo. EXEMPLO 2. Prove que o conjunto admite máximo e mínimo. Solução é contínua em segue, do teorema de Weierstrass, que existem x1 e x2 em tais que f (x1) é o valor mínimo de f em e f (x2) o valor máximo de f neste intervalo. Assim e . Veremos, mais adiante, como determinar x1 e x2. ■

a)
b)
c)