A função y = f(x) é dada implicitamente pela equação 3y2 + 2xy − x2 = 3. Sabe-se que, para todo x ∈ Df, f(x) > 0 e que f admite uma reta tangente T...

Primeiramente, vamos encontrar a derivada da função implícita f(x) em relação a x: 6y * dy/dx + 2x * dy/dx + 2y - 2x = 0 Simplificando: dy/dx = (x - y)/3y Sabemos que a reta T é paralela à reta 5y - x = 2, então sua inclinação é igual à inclinação da reta dada, ou seja, m = 1/5. Agora, precisamos encontrar o ponto em que a reta T toca a curva f(x). Sabemos que a reta T é tangente à curva f(x), então ela toca a curva em apenas um ponto. Além disso, sabemos que a reta T tem inclinação m = 1/5. Podemos usar a equação da reta tangente para encontrar a equação da reta T: y - f(a) = m(x - a) Substituindo m = 1/5 e f(a) = y: y - y(a) = (1/5)(x - a) Simplificando: y = (1/5)x + (4/5)y(a) - (4/5)a Agora, precisamos encontrar o valor de a, que é o ponto em que a reta T toca a curva f(x). Sabemos que a reta T é tangente à curva f(x), então ela toca a curva em apenas um ponto. Além disso, sabemos que a reta T tem inclinação m = 1/5. Podemos usar a equação da reta tangente para encontrar o valor de a: dy/dx = (x - y)/3y Substituindo m = 1/5: 1/5 = (a - y(a))/3y(a) Simplificando: y(a) = 5a/16 Agora, podemos substituir y(a) na equação da reta T para obter a equação final: y = (1/5)x + (4/5)(5a/16) - (4/5)a Simplificando: y = (1/5)x + a/4 Portanto, a equação da reta tangente T é y = (1/5)x + a/4.