EXEMPLO 5. A função y = f (x), y > 0, é dada implicitamente pela equação x2 + y2 = 4. a) Determine f (x). b) Mostre que para todo x no domínio de f...

a) Para determinar f(x), podemos isolar y na equação dada: x² + y² = 4 y² = 4 - x² y = √(4 - x²) Como y > 0, temos: f(x) = √(4 - x²) b) Para mostrar que para todo x no domínio de f, temos y > 0, podemos observar que a função f(x) é a raiz quadrada de um termo positivo (4 - x²). Portanto, f(x) só será indefinida quando 4 - x² < 0, o que ocorre quando x > 2 ou x < -2. Como a função é definida para todo x no domínio, temos que y > 0 para todo x. c) Para calcular, precisamos integrar a função f(x) no intervalo [-2, 2]: ∫[de -2 até 2] √(4 - x²) dx Fazendo a substituição trigonométrica x = 2sin(t), temos: dx = 2cos(t)dt Quando x = -2, temos t = -π/6 e quando x = 2, temos t = π/6. Substituindo na integral, temos: ∫[de -π/6 até π/6] √(4 - 4sin²(t)) 2cos(t) dt ∫[de -π/6 até π/6] 2cos²(t) dt ∫[de -π/6 até π/6] (1 + cos(2t)) dt [t + (1/2)sen(2t)] [-π/6 até π/6] [(π/6) + (1/2)sen(π/3)] - [(-π/6) + (1/2)sen(-π/3)] (π/3) + (1/2)√3 - (-π/3) + (1/2)(-√3) π/3 + √3 Portanto, a integral é igual a π/3 + √3.