DERIVADA DE FUNÇÃO INVERSA Seja f uma função inversível, com inversa g; assim, f(g(x)) = x para todo x ∈ Dg. Segue que para todo x ∈ Dg [f(g(x))]′ ...

DERIVADA DE FUNÇÃO INVERSA Seja f uma função inversível, com inversa g; assim, f(g(x)) = x para todo x ∈ Dg. Segue que para todo x ∈ Dg [f(g(x))]′ = x′ ou [f(g(x))]′ = 1. Se supusermos f e g diferenciáveis, podemos aplicar a regra da cadeia ao 1.º membro da equação acima: f′(g(x))g′(x) = 1 ou que é a fórmula que nos permite calcular a derivada de g conhecendo-se a derivada de f. Observação. Observe atentamente as notações f′(g(x)) e [f(g(x))]′: f′(g(x)) é o valor que a derivada de f assume em g(x), enquanto [f(g(x))]′ = f′(g(x))g′(x). O próximo teorema conta-nos que, se f for inversível e derivável e se sua inversa g for contínua, então g será derivável em todo p de seu domínio em que f′(g(p)) ≠ 0. Teorema. Seja f uma função inversível, com função inversa g. Se f for derivável em q = g(p), com f′(q) ≠ 0, e se g for contínua em p, então g será derivável em p. Demonstração Fazendo u = g(x), pela continuidade de g em p, u → q para x → p. Então, Como resulta Portanto, g é derivável em.