Seja f uma função inversível com inversa g. Mostre que f(g(x)) = x para todo x ∈ Dg. Prove que a função f(x) = arc sen x, x ∈ [−1, 1], é contínua. ...

Vamos lá: 1. Para mostrar que f(g(x)) = x para todo x ∈ Dg, basta usar a definição de função inversa. Se f é inversível, então existe uma função g tal que g(f(x)) = x para todo x em Domínio de f. Logo, se x pertence ao Domínio de g, temos que f(g(x)) = x. 2. Para provar que a função f(x) = arcsen(x), x ∈ [-1,1], é contínua, podemos usar o fato de que a função seno é contínua em todo o seu domínio. Além disso, a função arcsen(x) é a inversa da função seno restrita ao intervalo [-π/2,π/2]. Como a função seno é contínua em [-π/2,π/2], sua inversa também é contínua nesse intervalo. Portanto, a função f(x) = arcsen(x), x ∈ [-1,1], é contínua. 3. Para provar que a função f(x) = arctg(x), x ∈ ℝ, é contínua, podemos usar o mesmo raciocínio do item anterior. A função tangente é contínua em todo o seu domínio, e a função arctg(x) é a inversa da função tangente restrita ao intervalo (-π/2,π/2). Como a função tangente é contínua em (-π/2,π/2), sua inversa também é contínua nesse intervalo. Portanto, a função f(x) = arctg(x), x ∈ ℝ, é contínua. 4. Para mostrar que a função f(x) = x³ é inversível, podemos usar o fato de que a função é estritamente crescente em todo o seu domínio. Portanto, para cada y no contradomínio de f, existe um único x no domínio de f tal que f(x) = y. Para encontrar a inversa de f, basta resolver a equação y = x³ para x em termos de y. Temos que x = ∛y. Portanto, a inversa de f é g(x) = ∛x. 5. Para esboçar os gráficos de f e g, podemos usar o fato de que a função f(x) = x³ é uma função cúbica, que tem concavidade para cima e passa pela origem. A função g(x) = ∛x é uma função cúbica invertida, que tem concavidade para baixo e também passa pela origem. Portanto, os gráficos de f e g são simétricos em relação à reta y = x. Espero ter ajudado!