PRIMITIVA DE UMA FUNÇÃO Seja f uma função definida num intervalo I. Uma primitiva de f em I é uma função F definida em I, tal que f′(x) = f (x) par...

PRIMITIVA DE UMA FUNÇÃO Seja f uma função definida num intervalo I. Uma primitiva de f em I é uma função F definida em I, tal que f′(x) = f (x) para todo x em I. EXEMPLO 1. é uma primitiva de f (x) = x2 em ℝ, pois, para todo x em ℝ, Observe que, para toda constante k, também, primitiva de f (x) = x2. ■ EXEMPLO 2. Para toda constante k, F (x) = 2x + k é primitiva, em ℝ, de f (x) = 2, pois, f′(x) = (2x + k)′ = 2 para todo x. ■ Sendo F uma primitiva de f em I, então, para toda constante k, F (x) + k é, também, primitiva de f. Por outro lado, como vimos na seção anterior, se duas funções têm derivadas iguais num intervalo, elas diferem, neste intervalo, por uma constante. Segue que as primitivas de f em I são as funções da forma f (x) + k, com k constante. Diremos, então, que y = f (x) + k, k constante, é a família das primitivas de f em I. A notação será usada para representar a família das primitivas de f: = f (x) + k. Na notação , a função f denomina-se integrando. Uma primitiva de f será, também, denominada uma integral indefinida de f. É comum referir-se a como a integral indefinida de f. Observação. O domínio da função f que ocorre em deverá ser sempre um intervalo; nos casos em que o domínio não for mencionado, ficará implícito que se trata de um intervalo. EXEMPLO 3. Calcule. Solução O integrando é a função constante f (x) = 1. Então ∫ dx = ∫ 1 · dx = x + k pois, (x)′ = 1. ■ EXEMPLO 4. Calcule ∫ xα dx, em que α ≠ −1 é um real fixo. Solução EXEMPLO 5. Calcule Solução ou seja, e, portanto, EXEMPLO 6. Calcule Solução ou seja, EXEMPLO 7. Calcule Solução ou seja, e, portanto, EXEMPLO 8. Calcule Solução pois Seja α um real fixo. Dos Exemplos 4 e 8 resulta EXEMPLO 9. Calcule Solução ou seja, EXEMPLO 10. Seja α um real fixo, α ≠ 0. Calcule Solução EXEMPLO 11. Calcule. Solução EXEMPLO 12. Determine y = y (x), x ∈ ℝ, tal que Solução Assim, Vimos, ao final da seção anterior, que se f′(x) = G′ (x) para todo x no intervalo I e se, para algum x0 em I, F (x0) = G (x0), então f (x) = G (x) em I. Segue deste resultado que se f admitir uma primitiva em I e se x0, y0 forem dois reais quaisquer, com x0 ∈ I, então existirá uma única função y = y (x), x ∈ I, tal que EXEMPLO 13. Determine a única função y = y (x), definida em ℝ, tal que Solução A condição y (0) = 2 significa que, para x = 0, devemos ter y = 2. Vamos determinar k para que esta condição esteja satisfeita. Substituindo, então, em x por 0 e y por 2, resulta k = 2. Assim, EXEMPLO 14. Determine a função y = y (x), x ∈ ℝ, tal que Solução Assim, Para se ter é preciso que k1 = 0. Assim, daí Para k2 = 1, a condição inicial y (0) = 1 se verifica. Assim, 1.