Quantos metros de chapa de ferro são necessários para construir um arco AB, de forma parabólica, sendo A e B simétricos com relação ao eixo de sime...

Para calcular a quantidade de chapa de ferro necessária para construir um arco AB de forma parabólica, precisamos usar a fórmula da parábola. Sabemos que a distância do vértice ao segmento AB é de 1 metro, então a equação da parábola é dada por: y = a(x - h)² + k Onde: - h é a coordenada x do vértice, que é o ponto médio entre A e B, então h = (xA + xB)/2 = xA + 1 - k é a coordenada y do vértice, que é a distância do vértice ao segmento AB, então k = 1 - a é um parâmetro que determina a abertura da parábola. Como a parábola é voltada para baixo, a é negativo. Para encontrar o valor de a, podemos usar o fato de que a distância de A a B é de 2 metros. Como A e B são simétricos em relação ao eixo de simetria da parábola, a coordenada x de A é igual a -xB. Então temos: xB - (-xB) = 2 2xB = 2 xB = 1 Portanto, as coordenadas de A e B são (-1, 0) e (1, 0), respectivamente. Substituindo esses valores na equação da parábola, temos: y = a(x - (xA + 1))² + 1 0 = a(-1 - (xA + 1))² + 1 0 = a(2 + 2xA)² + 1 -1 = 4a(xA + 1)² Como a parábola passa pelos pontos A e B, temos: 0 = a(-1 - (xA + 1))² + 1 0 = a(1 - (xA + 1))² + 1 1 = 4a(xA + 1)² Podemos resolver esse sistema de equações para encontrar o valor de a e xA: -1 = 4a(xA + 1)² 1 = 4a(xA + 1)² Multiplicando as duas equações, temos: -1 = -16a²(xA + 1)⁴ 1 = 16a²(xA + 1)⁴ Dividindo a segunda equação pela primeira, temos: -1 = -16a²(xA + 1)⁴ -1/16 = a²(xA + 1)⁴ -1/4 = a(xA + 1)² -1/2 = xA + 1 xA = -3/2 Substituindo xA na equação da parábola, temos: y = a(x - (xA + 1))² + 1 y = a(x + 2)² + 1 Agora podemos calcular a quantidade de chapa de ferro necessária para construir o arco AB. Podemos dividir o arco em vários segmentos verticais de largura dx e altura y(x). A área de cada segmento é dada por y(x)dx, então a área total do arco é dada por: A = ∫[-1, 1] y(x)dx A = ∫[-1, 1] a(x + 2)² + 1 dx A = ∫[-1, 1] a(x² + 4x + 5) dx A = a[x³/3 + 2x² + 5x]_(-1)^1 A = a(8/3) Como a largura do arco é de 2 metros, a altura média é dada por A/2, então temos: h = A/2 = 4a/3 Finalmente, podemos calcular a quantidade de chapa de ferro necessária multiplicando a área do arco pela altura média: Q = A * h Q = (8/3)a * (4a/3) Q = 32a²/9 Portanto, a quantidade de chapa de ferro necessária para construir o arco AB é de 32/9 metros quadrados. A alternativa correta é a letra C.