Calcule o comprimento do gráfico da função dada. Quantos metros de chapa de ferro são necessários para construir um arco AB, de forma parabólica, s...

Calcule o comprimento do gráfico da função dada. Quantos metros de chapa de ferro são necessários para construir um arco AB, de forma parabólica, sendo A e B simétricos com relação ao eixo de simetria da parábola e com as seguintes dimensões: 2 m a distância de A a B e 1 m a do vértice ao segmento AB. COMPRIMENTO DE CURVA DADA EM FORMA PARAMÉTRICA Por uma curva em ℝ2 entendemos uma função que a cada t pertencente a um intervalo I associa um ponto (x(t), y(t)) em ℝ2, em que x(t) e y(t) são funções definidas em I. Dizemos que são as equações paramétricas da curva. Por abuso de linguagem, vamos nos referir ao lugar geométrico descrito pelo ponto (x(t), y(t)), quando t percorre o intervalo I, como a curva de equações paramétricas x = x(t) e y = y(t). EXEMPLO 1. Desenhe a curva dada em forma paramétrica por x = t, y = 3t, t ∈ ℝ. Solução x = t, y = 3t ⇒ y = 3x. Quando t percorre ℝ, o ponto (t, 3t) descreve a reta y = 3x. EXEMPLO 2. Seja a curva de equações paramétricas x = t, y = t2, t em ℝ. Quando t varia em ℝ, o ponto (t, t2) descreve a parábola y = x2. EXEMPLO 3. Seja a curva de equações paramétricas x = cos t, y = sen t, t ∈ [0, 2π]. Quando t varia em [0, 2π], o ponto (cos t, sen t) descreve a circunferência x2 + y2 = 1. EXEMPLO 4. Desenhe a curva dada em forma paramétrica por x = 2 cos t e y = sen t, com t ∈ [0, 2π]. Solução Assim, para cada t ∈ [0, 2π] o ponto (2 cos t, sen t) pertence à elipse Por outro lado, para cada (x, y) na elipse, existe t ∈ [0, 2π] tal que Assim, quando t percorre o intervalo [0,2 π], o ponto (2 cos t, sen t) descreve a elipse. ■ Nosso objetivo a seguir é estabelecer a fórmula para o cálculo do comprimento de uma curva dada em forma paramétrica. A fórmula será estabelecida a partir de considerações geométricas, e deixamos o tratamento rigoroso do assunto para o Vol. 2. Suponhamos que s = s(t), t ∈ [a, b], seja o comprimento do trecho da curva de extremidades A = (x(a), y(a)) e P(t) = (x(t) y(t)), em que x = x(t) e y = y(t) são supostas de classe C1. Sejam Δx, Δy e Δs as variações em x, y e s correspondentes à variação Δt em t, com Δt > 0. Para Δt suficientemente pequeno, vemos, pela figura, que Δ2s ≈ Δ2x + Δ2y e, portanto, É razoável, então, esperar que a diferencial da função s = s(t) seja Definimos então o comprimento da curva x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b], com x = x(t) e y = y(t) de classe C1 em [a, b], por em forma paramétrica por x = t, y = f (t), t ∈ [a, b]. Segue que a fórmula para o comprimento do gráfico de uma função é um caso particular desta. EXEMPLO 5. Calcule o comprimento da circunferência de raio R > 0. Solução Uma parametrização para a circunferência de raio R e com centro na origem é: x = R cos t e y = R sen t, com t ∈ [0,2π]. De segue Portanto, comprimento = ■ EXEMPLO 6. As equações paramétricas do movimento de uma partícula no plano são Quais as posições da partícula nos instantes t = 0, Qual a trajetória descrita pela partícula? Qual a distância percorrida pela partícula entre os instantes t = 0 e t = π? Solução No instante t = 0 a partícula encontra-se na posição (0, 0), em na posição (1,1) e, no instante t = π, novamente na posição (0, 0). b) c) 1. a) b) c) x = sen t e y = sen2 t ⇒ y = x2. Segue que a partícula, de t = 0 a descreve o arco da parábola de extremidades (0, 0) e (1, 1) e no sentido de (0, 0) para (1, 1). De a t = π descreve o mesmo arco só que em sentido contrário. A distância d percorrida entre os instantes t = 0 e t = π é dada por ou seja Observe que as distâncias percorridas entre os instantes t = 0 e é a mesma que de a t = π. Observe ainda que |cos t| = cos t, para Fazendo a mudança de variável u = 2 sen t teremos du